2．5曲线与方程 第一课时 曲线与方程 [读教材·填要点] 曲线的方程、方程的曲线 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： 点在曲线上?点的坐标满足方程．即： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，方程叫曲线的方程，曲线叫方程的曲线． [小问题·大思维] 1．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？ 提示：若点P在曲线上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线f(x，y)＝0上，∴点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0. 2．“曲线的方程”与“方程的曲线”有什么区别？ 提示：“曲线的方程”强调的是图形表示的数量关系．而“方程的曲线”则强调的是数量关系表示的图形． 曲线的方程与方程的曲线的概念 分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系． [自主解答] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程． (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5. (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0. 判定曲线和方程的对应关系的策略 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性． [注意] 只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程． 1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( ) A．方程f(x，y)＝0的曲线是C B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C C．f(x，y)＝0是曲线C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 解析：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确． 答案：B 用直接法求曲线方程 已知点M与x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等，求点M的轨迹方程． [自主解答] 设动点M的坐标为(x，y)，且M到x轴的距离为d， 那么M属于集合{M|d＝|MF|}． 由距离公式得|y|＝， 整理得x2－8y＋16＝0，即y＝x2＋2. ∴所求点M的轨迹方程是y＝x2＋2. 把本例中的“x轴”改为“直线x＝－4”，求点M的轨迹方程． 解：设动点M的坐标为(x，y)， 则|x＋4|＝， 整理得x＝y2－y， ∴点M的轨迹方程为x＝－y. 利用直接法求轨迹方程，即直接根据已知等量关系，列出x，y之间的关系式，构成F(x，y)＝0，从而得出所求动点的轨迹方程．要注意求轨迹方程时去杂点，找漏点． 2．已知两点A(0,1)，B(1,0)，且|MA|＝2|MB|，求动点M的轨迹方程． 解：设点M的坐标为(x，y)，由两点间距离公式， 得 |MA| ＝， |MB|＝. 又|MA|＝2|MB|， ∴＝2. 两边平方，并整理得3x2＋3y2＋2y－8x＋3＝0， 即所求轨迹方程为2＋2＝. 用定义法求曲线方程 如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程． [自主解答] 由垂直平分 ... ...
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