3．2空间向量的坐标 [读教材·填要点] 1．定理1 设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则 (1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3. (2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′. 2．定理2(空间向量基本定理) 设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则 (1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3. (2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′. 3．空间向量运算的坐标公式 (1) 向量的加减法： (x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)， (x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)． (2)向量与实数的乘法： a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)． (3)向量的数量积： (x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (4)向量v＝(x，y，z)的模的公式： |v|＝. (5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式： cos α＝. 4．点的坐标与向量坐标 (1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． (2)两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离dAB为： dAB＝. (3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值． [小问题·大思维] 1．空间向量的基是唯一的吗？ 提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基，所以空间的基有无数个，因此不唯一． 2．命题p：{a，b，c}为空间的一个基底；命题q：a，b，c是三个非零向量，则命题p是q的什么条件？ 提示：p?q，但q p，即p是q的充分不必要条件． 3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系？ 提示：空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其线线、线面、面面的位置关系是固定的，坐标系的不同，只会影响其计算的繁简． 4．平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？ 提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算理是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的． 空间向量基本定理的应用 空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量和. [自主解答] ∵＝＋， 而＝，＝－. ∵D为BC的中点， ∴＝(＋) ∴＝＋ ＝＋(－) ＝＋·(＋)－ ＝(＋＋)＝(a＋b＋c)． 而＝－， 又∵＝＝·(＋)＝(b＋c) ∴＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a. ∴＝(a＋b＋c)；＝－a. 本例条件不变，若E为OA的中点，试用a，b，c表示和. 解：如图，＝－ ＝－(＋) ＝a－b－c. ＝－ ＝(＋＋)－ ＝－＋＋ ＝－a＋b＋c. 用基表示向量时： (1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． (2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求． 1.如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量： (1)；(2). 解：连接AC，AD1， (1)＝(＋) ＝(＋＋) ＝(a＋b＋c)． (2)＝(＋) ＝(＋2＋) ＝a＋b＋c. 空间向量的坐标运算 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝，b＝. (1)设|c|＝3，c∥，求c. (2)若ka＋b与ka－2b 互相垂直，求k. [自主解答] (1)∵＝(－2，－1,2)且c∥， ∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c|＝＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1， ∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝ ... ...
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