2．1.2 椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质 [读教材·填要点] 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0＜e＜1) 2．椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系 (1)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁； (2)当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越圆． [小问题·大思维] 1．椭圆＋＝1的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什么？ 提示：根据椭圆的标准方程＋＝1， 得a＝5，b＝3，则c＝＝4. 因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6. 离心率e＝＝＝0.8. 焦点为F1(－4,0)和F2(4,0)， 顶点为A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)． 2．如何用a，b表示离心率？ 提示：由e＝得e2＝＝， ∴e＝ . ∴e＝. 3．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远． 4．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？ 提示：点(a,0)，(－a,0)与焦点F1(－c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离，分别为a＋c和a－c. 由椭圆方程研究简单几何性质 求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． [自主解答] 把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＝6， 所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝. 两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)． 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出其相关性质．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴． 1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝； (2)椭圆C2：＋＝1， 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e＝. 由椭圆的简单几何性质求方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点(3,0)，离心率e＝； (2)焦距为6，在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直． [自主解答] (1)当椭圆的焦点在x轴上时， 因为a＝3，e＝， 所以c＝.从而b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝， 所以＝.所以a2＝27. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由已知，得c＝3，b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出标准方程． 2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为. 解：(1)若椭圆的焦点在x轴上， 设方 ... ...
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