中小学教育资源及组卷应用平台 第25讲 矩形、菱形 INCLUDEPICTURE "../能力训练.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../能力训练.EPS" \* MERGEFORMAT 【思维入门】 1．如图8－25－1所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 ( ) A．3.5 B．4 C．7 D．14 2．有4个命题： (1)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； (2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； (3)O是四边形ABCD内一点，若AO＝BO＝CO＝DO，则四边形ABCD是矩形； (4)若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形． 其中正确的命题个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图8－25－2，在?ABCD中，添加下列条件之一能使它成为菱形的是 ( ) 图8－25－2 ①AC⊥BD；②∠BAD＝90°； ③AB＝BC；④AC＝BD. A．①或③ B．②或③ C．③或④ D．①或②或③ 4．如图8－25－3，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连结BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为 ( ) 图8－25－3 A．2 B．3 C．6 D. 5．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a－1)2＋＝0，那么菱形的面积等于____． 6．已知：如图8－25－4，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF. (1)求证：△DOE≌△BOF； (2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由． 图8－25－4 【思维拓展】 7．如图8－25－5，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB.将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连结BP交EF于点Q.对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是 ( ) 图8－25－5 A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 8．如图8－25－6，矩形ABCD中，AB＝60，BD＝BC＋CD，则BC＝_____． 图8－25－6 9．如图8－25－7，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结DE，BE，若△ABE是等边三角形，则＝____． 图8－25－7 10．如图8－25－8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF. (1)求证：AF＝DC； (2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 图8－25－8 11．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图8－25－9①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图8－25－9②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P. (1)求证：AM＝AN； (2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由． 图8－25－9 12．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图8－25－10①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD. 应用：如图8－25－10②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝BF，AF与BE交于点O. (1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”； (2)连结OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积． 探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，点D在线段AB上，连结CD， △ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到 △A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积． 图8－25－10 【思维升华】 13．菱形的两条对角线之和为L，面积为S，则它的边长为 ( ) A. B. C. D. 14．如图8－25－11，四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠ABC＝30°，AB＝6，AD＝CD，A ... ...
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