第二讲 小题考法———圆锥曲线的方程与性质 考点(一)圆锥曲线的定义与标准方程 主要考查圆锥曲线的定义及其应用、标准方程的求法. [典例感悟] [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 (2)(2018·重庆模拟)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3)，则|PF|＋|PM|的最小值是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 (3)(2018·湖北十堰十三中质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 [解析] (1)根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝.① 又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)， 所以a2＋b2＝9.② 根据①②可知a2＝4，b2＝5， 所以C的方程为－＝1. (2)由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6，故选A. (3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由点P(2，)在椭圆上，知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，则＝.又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆的方程为＋＝1. [答案] (1)B (2)A (3)A [方法技巧] 求解圆锥曲线标准方程的思路方法 (1)定型，即确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)． [演练冲关] 1.(2018·合肥一模)如图，椭圆＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( ) A．20 B．10 C．2 D．4 解析：选D 由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程，得得N，∴H， M.把点M的坐标代入椭圆方程得＋＝1，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故选D. 2．(2018·河北五个一名校联考)如果点P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2＝2x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝_____. 解析：由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10. 答案：10 3.如图，F1，F2是双曲线－＝1(a>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的标准方程为_____，△BF1F2的面积为_____． 解析：由|AF1|－|AF2|＝|BF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，得|BF2|＝4a，在△AF1F2中，|AF1|＝6a，|AF2|＝4a， |F1F2|＝2c，∠F1AF2＝60°，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2×6a×4a×，化简得c＝a，由a2＋b2＝c2得，a2＋24＝7a2，解得a＝2，则双曲线的方程为－＝1，△BF1F2的面积为|BF1|·|BF2|sin∠F1BF2＝×2a×4a×＝8. 答案：－＝1 8 考点(二)圆锥曲线的几何性质 主要考查椭圆、双曲线的离心率的计算、双曲线渐近线的应用以及抛物线 的有关性质. [典例感悟] [典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( ) A．y＝±x ... ...
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