考点一 两个计数原理 1.应用分类加法计数原理，应准确进行“分类”，明确分类的标准：每一种方法必属于某一类(不漏)，任何不同类的两种方法是不同的方法(不重)，每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情”； 2．应用分步乘法计数原理，应准确理解“分步”的含义，完成这件事情，需要分成若干步骤，只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成． [典例1] (1)某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( ) A．14 B．16 C．20 D．48 (2)一个地区分为5个行政区域(如图所示)，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法有_____种．(用数字作答) 解析：(1)分两类： 第1类，甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人来自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理，得N1＝2×6＝12； 第2类，3人全来自其余4家企业，有4种情况． 综上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16种情况． (2)法一：分步考虑，先给区域1着色，有C种不同的着色方法；再给区域2着色，有C种不同的着色方法；然后给剩下的三个区域着色，可分两类： 第1类，将剩余两种颜色在区域3和区域4处全排列，有A种，再将区域3中的颜色着于区域5处，仅有一种方法．由分步乘法计数原理，知有C·C·A种不同的着色方法； 第2类，从剩下的两种颜色中任选一种着于区域3处，有C种方法，然后将区域2中的颜色着于区域4处，再从剩下的一种颜色和区域3中的颜色中任选1种着于区域5处，有C种方法．由分步乘法计数原理，知有C·C·C·C种不同的着色方法． 综上，由分类加法计数原理，知共有C·C·A＋C·C·C·C＝72种不同的着色方法． 法二：以所用颜色的多少分类考虑． 第1类，仅着4种颜色(即有一种颜色重复使用)，可分如下三步进行：①区域1的着色法有C种；②从剩余颜色中抽出一种准备重复着色有C种，而使其在区域2,4或3,5处着色有2种方法，此步骤共有2C种方法，将剩余的2种颜色着于剩下两处，有A种．由分步乘法计数原理，知共有2C·C·A种不同的着色方法． 第2类，仅着3种颜色，亦可分为三步进行：①先从四种颜色中选出三种，有C种；②从所选三种颜色中任选一种着于1处，有C种；③让剩下的两种颜色一种着于区域2,4处，一种着于区域3,5处，有A种．由分步乘法计数原理，知共有C·C·A种不同的着色方法． 综上，由分类加法计数原理，知共有2C·C·A＋C·C·A＝72种不同的着色方法． 答案：(1)B (2)72 [对点训练] 1．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同站法的种数是_____(用数字作答)． 解析：正面考虑，问题较复杂，不易解决，若从反面考虑，即先不考虑“每级台阶最多站2人”的情况．因为甲、乙、丙3人站这7级台阶，每人都有7种不同的站法，因此共有73种不同的站法，而3人同站在一级台阶的站法有7种，是不符合题意的． 所以满足条件的不同站法的种数是73－7＝336. 答案：336 2．设集合I＝{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有多少种？ 解：当A＝{1}时，B为{2,3,4,5}的非空子集即可，有15个．当A中最大数为2(有2个)时，则B有7个．当A中的最大数为3(有4个)时，则B有3个；当A中最大数为4(有8个)时，B＝{5}，故共有15＋2×7＋4×3＋8＝49种不同的选择方法． 考点二 排列组合应用题 将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列、组合应用题的关键一步．(1)正确分类或分步，恰当选择两个计数原理．(2)有限制条件的排列组合问题应优先考虑“受限元素”或“受限位置”．而排列组 ... ...
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