考点一 归纳推理 归纳推理的四个特点 (1)前提：几个已知的特征现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围． (2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具． (3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行． (4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段． [典例1] (1)观察下列不等式 1＋<， 1＋＋<， 1＋＋＋<， …… 照此规律，第五个不等式为_____． (2)如图所示是一个有n层(n≥2，n∈N*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵共有_____个点． 解析：(1)第n(n＝1,2,3)个不等式的左边为前n＋1个正整数平方的倒数和，右边分母为n＋1，分子为2n＋1，故第五个不等式为1＋＋＋＋＋<. (2)设第n层共有an个点，结合图形可知a1＝1，a2＝6，…，an＋1＝an＋6(n≥2，n∈N*)，则an＝6＋(n－2)×6＝6n－6(n≥2，n∈N*)，前n层所有点数之和为Sn＝1＋＝3n2－3n＋1，故这个点阵共有3n2－3n＋1个点． 答案：(1)1＋＋＋＋＋< (2)3n2－3n＋1 [对点训练] 1．观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有_____个小正方形． 解析：设第n个图形中小正方形的个数为Sn，观察图形，当n＝1时，S1＝2＋1； 当n＝2时，S2＝3＋2＋1； 当n＝3时，S3＝4＋3＋2＋1； 当n＝4时，S4＝5＋4＋3＋2＋1； 当n＝5时，S5＝6＋5＋4＋3＋2＋1； …， 可得Sn＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1 ＝＝. 答案： 考点二 类比推理 类比推理的特点是：对两类具有某些类似性质的对象，若其中一类对象具有某些已知性质，推出另一类对象也具有这些性质． (1)类比是以已知知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能． (2)常见的类比推理情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等． [典例2] 在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D.则＝＋，类比以上结论写出四面体ABCD中，类似的命题，并给出证明． 解：猜想：在四面体A-BCD中， 若AB、AC、AD两两垂直，且AE⊥平面BCD，E为垂足， 则＝＋＋. 证明：如图所示，连接BE交CD于F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A， ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD， ∴＝＋.∴＝＋＋. 故猜想正确． [对点训练] 2．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O-xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示_____． 解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O-xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面． 答案：过原点的平面 3．如图，已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1. 这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”： ＋＋＝＋＋＝＝1. 运用类比猜想，对于空间中的四面体V-BCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明． 解：如图，设O为四面体V-BCD内任意一点，连接VO，BO，CO，DO并延长交对面于V′，B′，C′，D′，类似结论为＋＋＋＝1. 类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明． 因为＝＝(其中h′，h分别为两个四面体的高)， 同理＝，＝，＝， 所以＋＋＋ ＝＋＋＋＝1. 考点三 综合法和分析法 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法 ... ...
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