高考强化训练：31　数列求和

数列求和 [基础达标] 1．[2019·湖北省四校联考]在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． (1)求证：数列是等差数列，并求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Sn. 2．[2019·福建福州六校联考]已知数列{an}的前n项和Sn＝，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1＝a1＋1，b2－a2＝2. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求满足Tn＋an>300的最小的n值． 3．[2019·石家庄高中质量检测]已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋. (1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 4．[2019·广州市综合测试]已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝5－(4n＋5)·n，求数列{bn}的前n项和Tn. 5．[2019·郑州一中高三入学测试]在等差数列{an}中，已知a3＝5，且a1，a2，a5为递增的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}的通项公式/ (k∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn. 6．[2019·安徽省高中联合质量检测]已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝1，a2＝b2，a5＝b3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记Sn＝＋＋…＋，是否存在m∈N*，使得Sm≥3成立，若存在，求出m，若不存在，请说明理由． [能力挑战] 7．[2019·山东淄博模拟]已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10＝19，S10＝100；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝an＋2成立． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)记cn＝(－1)n，求数列{cn}的前n项和Tn. / 数列求和 [基础达标] 1．[2019·湖北省四校联考]在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． (1)求证：数列是等差数列，并求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Sn. 解析：(1)∵an是1与anan＋1的等差中项， ∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝， ∴an＋1－1＝－1＝，∴＝＝1＋， ∵＝1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列， ∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝. (2)由(1)得＝＝－， ∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝. 2．[2019·福建福州六校联考]已知数列{an}的前n项和Sn＝，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1＝a1＋1，b2－a2＝2. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求满足Tn＋an>300的最小的n值． 解析：(1)a1＝S1＝1， n>1时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n， 又n＝1时，a1＝n成立，∴an＝n(n∈N*)， 则由题意可知b1＝2，b2＝4， ∴{bn}的公比q＝＝2，∴bn＝2n(n∈N*)． (2)Tn＝＝2(2n－1)，Tn＋an＝2(2n－1)＋n， ∴Tn＋an随n增大而增大， 又T7＋a7＝2×127＋7＝261<300，T8＋a8＝2×255＋8＝518>300， ∴所求最小的n值为8. 3．[2019·石家庄高中质量检测]已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋. (1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解析：(1)由an＋1＝an＋，可得＝＋， 又bn＝，∴bn＋1－bn＝，由a1＝1，得b1＝1， 累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，即bn－b1＝＝1－，∴bn＝2－. (2)由(1)可知an＝2n－，设数列的前n项和为Tn， 则Tn＝＋＋＋…＋　①， Tn＝＋＋＋…＋　②， ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－， ∴Tn＝4－. 易知数列{2n}的前n项和为n(n＋1)， ∴Sn＝n(n＋1)－4＋. 4．[2019·广州市综合测试]已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝5－(4n＋5)·n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析：(1)因为数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以Sn＝2n2－n. 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3. 当n＝1时，a1＝1也符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝4 ... ...