自主招生试题分类汇编09计数原理

历年自主招生试题分类汇编———计数原理 2. （2014年北约）将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法. 【解】由题知所有分组方法有种. 2．（2013年北约）在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法？ A．720 B．20 C．518400 D．14400 解析 先排3个红色車，从6行中任取3行，有种取法；在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法．故停放方法共种．故选D． 1. （2013年华约）集合,为的子集,若集合中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;②任意两个数之和不为9 (1)中两位数有多少？三位数有多少？ (2)中是否有五位数？六位数？ (3)若将集合的元素按从小到大的顺序排列,第个数为多少？ 【解】将0,1,2,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5),中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成. (1)两位数有个; 三位数有个; (2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数; (3)四位数共有个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有个,因此第1081个元素是4012. （2）（2012年华约）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ） (A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 解：从6个位置中，先给两个車选位置，有种方法，由于总是红棋子在前，蓝棋子在后，所以只有一种排法，因此車总共有种排法；继续排马，有种，剩下两个位置自然是炮，因此总共有90种排法，选C。 （10）（2012年华约）已知，当取得最大值时，在 这十个数中等于的数共有（ ） (A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D) 4个 解：首先要求平方和最大，- 6 ????10, 我们希望有较多的10，但是10的个数不能太多，如果有7 个10，那么和为70，这样剩余的三个数最多能加到?18，不能满足和为50，但如果有6个10，剩余4个数做和可以等于-10，从而满足做和为50，这样，我们得到应该有6个10，另一方面，剩余4个数字做和为-10，可取3个- 6，1个8，不难验证，这种组合平方和最大。选C. 9．（2010年华约）欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则的最小值为（ B ） （A）6 （B）7 （C）8 （D）9 （2013年卓越联盟）如图，在、、、、五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种值物不同，则不同的栽种方案的总数为（ ） A． B． C． D． 答案:（理科）C． ... ...