长春市2019年高三质量监测（四） 数学（文科）试题参考答案及评分参考 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. A 2. B 3. D 4. B 5.A 6. C 7. B 8. C 9. A 10. A 11. D 12. D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分） 13. 14. 15. 3 16. 三、解答题 (本小题满分12分) 【命题意图】本题考查数列与数学归纳法的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题意，，或，， 所以相距最近的两个点横坐标满足，（3分） 又函数图像与直线的交点中距离最近的两个交点距离， 因此. 即函数解析式为.（6分） （Ⅱ）表略（9分）图略. （12分） (本小题满分12分) 【命题意图】本题考查立体几何的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意得， 故四边形为平行四边形，所以，由平面， 平面，故平面，（2分） 由题意可知，为中点，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以平面，（4分） 又由于相交，所以平面平面（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点到平面距离为到平面距离的3倍. 在中，，， 则. ，则. （8分） . .（10分） ，即点到平面的距离为. （12分） (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）依题意，是线段中点， 因为，故，（2分） 代入椭圆的方程，可得（4分） （Ⅱ）设，则，又（6分）， 又所以，，，（8分） ，消去，可得，（10分） 故（12分） (本小题满分12分) 【命题意图】本小题考查概率与统计的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ） 男生答卷成绩优秀概率（2分） 女生答卷成绩优秀概率（4分） （Ⅱ） 男 女 总计 优秀 580 530 1110 非优秀 420 470 890 总计 1000 1000 2000 （6分） 经计算的观测值 所以能在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“问卷成绩为优秀等级与性别有关”. （8分） （III）由频率分布直方图表明：男生成绩的平均分（或中位数）在80到85之间，女生成绩的平均分（中位数）在75到80分之间，且男生的成绩分布集中程度较女生成绩集中程度高，因此，可以认为男生的成绩较好且稳定.（12分） (本小题满分12分) 【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）令，（2分） + 极小值 ，无极大值；（4分） （II）对任意，即， 设，，（8分） ①当时，单调递增，单调递增，，成立；（9分） ②当时，令，单调递增，单调递增，，成立；（10分） ③当时，当时，，单调递减，单调递减，，不成立. （11分） 综上，（12分） (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）的直角坐标方程为①，的直角坐标方程为 ②，将①②联立，可求得，由题意： ，求得. （5分） （II）当时，曲线为直线，解方程组， 得，，于是可求得. （10分） (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ） （5分） （II） 而，所以 （10分） ... ...
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