安徽省合肥市2019届高三三模理科数学及答案

高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 5 页） 合肥市 2019 年高三第三次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.8 14. 7 4 ? 15. 1 4 ? 16. 2 5 5 三、解答题： 17.(本小题满分12分) 解：(Ⅰ)当 1n ? 时， 1 1a ? ，故 1 6b ? . 当 2n ? 时， 12 2 1n na a n?? ? ? ， 则 nb ? 2 3na n? ? 12 2 1 2 3na n n?? ? ? ? ? 12( 2 1)na n?? ? ? ? ?12 2( 1) 3na n?? ? ? ? ， ∴ 12n nb b ?? ， ∴数列? ?nb 是首项为6 ，公比为2 的等比数列. ………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 3 2nnb ? ? ，∴ 2 3 3 2 2 3 n n na b n n? ? ? ? ? ? ? ， ∴ ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 3 1 3 1 2 n n nS n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ∴ +1 23 2 4 6nnS n n? ? ? ? ? . …………………………12分 18.(本小题满分12分) 解：(Ⅰ)由题意得： 城镇居民 农村居民 合计 经常阅读 100 24 124 不经常阅读 50 26 76 合计 150 50 200 则 ? ?22 200 100 26 50 24 9800 5.546 5.024 150 50 124 76 1767 K ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。 所以，有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关. ……………………………6分 (Ⅱ)根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是 2 3 ， 且X ～B（4， 2 3 ），所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 81 8 81 24 81 32 81 16 81 ∴ ? ? 2 84 3 3 E X ? ? ? . …………………………12分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D A B B A B B D C D 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 5 页） 19.(本小题满分12分) 解：(Ⅰ)取AD的中点为O，连结OP，OB，OC.设OB交AC于点H，连结GH. ∵AD∥BC， 1 2 AB BC CD AD? ? ? ∴四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形 ∴OB⊥AC，OB∥CD ∴CD AC? . PAD O AD PO AD ? ? ? ? 为等边三角形， 为 中点 PAD ABCD PAD ABCD AD PO PAD PO AD PO ABCD ? ? ? ? ?? ??平面 平面 且平面 平面 ， 平面 且 平面 ∵CD ABCD?平面 ∴PO CD? ∵H ，G分别为OB， PB的中点 ∴GH∥PO ∴GH CD? 又∵GH AC H?? ∴CD GAC?平面 . ………………………6分 (Ⅱ)取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以 OE OD OP ???? ???? ???? ， ， 的方向为x轴、 y轴、 z轴 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz? . 设AD=4，则P (0，0，2 3 )，A (0，-2，0)，C ( 3 ，1，0)，D (0，2，0)，G 3 1 3 2 2 ? ? ?? ?? ? ? ? ， ， . AP ? ???? (0，2，2 3 )， 3 3 3 2 2 AG ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ， ， . 设平面PAG的一个法向量 ? ?n x y z? ? ， ， . 由 2 2 3 00 3 3 30 3 0 2 2 y zn AP y z x zn AG x y z ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ??? ? ? ???? ? ???? . 令 1z ? ，则 ? ?1 3 1n ? ?? ， ， . 由(Ⅰ)可知，平面AGC的一个法向量为 ? ?3 1 0CD ? ????? ，， . ∴二面角P AG C? ? 的平面角? 的余弦值 2 3 15cos 52 5 n CD n CD ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???? .……………12分 20.(本小题满分12分) 解：(Ⅰ)由已知，得 1 4 8 c a ?? ? ?? ，∴ 1 2 c a ?? ? ?? ，∴ 2 3b ? ， ∴椭圆C的标准方程 2 2 1 4 3 x y ? ? . ……………………………6分 (Ⅱ)若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾， 所以直线l的斜率存在. 令 ? ?: 1l y k x? ? ( 0k ? )， ? ?:m y k x t? ? ? ， ? ?A AA x y， ， ? ?B BB x y， ， ? ?M MM x y， ， ? ?N NN x y， . 将直线m的方程代入椭圆方程得：? ? ? ?2 2 2 2 23 4 8 4 3 0k x k tx k t? ? ? ? ? ， 高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 5 页） ∴ 2 2 8 ... ...