新人教A版必修二第二章2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

§2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1　平　面 学习目标　1.了解平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系． 知识点一　平　面 思考　几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？ 答案　 没有．平行四边形． 梳理　(1)平面的概念 ①平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义． ②几何中的平面的特征： (2)平面的画法 常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍 一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来 (3)平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD. 知识点二　点、直线、平面之间的关系 思考　直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？ 答案　点和直线、平面的位置关系可用数字符号“∈”或“?”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号 “?”或“?”表示． 梳理　点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A?l A在α内 A∈α A在α外 A?α l在α内 l?α l在α外 l?α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 知识点三　平面的基本性质 思考1　直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？ 答案　前者不在，后者在． 思考2　观察图中的三脚架，你能得出什么结论？ 答案　不共线的三点可以确定一个平面． 梳理　关于平面基本性质的三个公理 公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α ①确定直线在平面内的依据 ②判定点在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据 ②判定点线共面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 1．8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．(　×　) 2．空间不同三点确定一个平面．(　×　) 3．一条直线和一个点确定一个平面．(　×　) 类型一　图形语言、文字语言、符号语言的相互转换 例1　用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B. (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上． 解　(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图． (2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如图． 反思与感悟　(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． 跟踪训练1　(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作(　　) A．A∈b∈β B．A∈b?β C．A?b?β D．A?b∈β (2)如图所示，用符号语言可表述为(　　) A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n?α，A?m，A?n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 答案　(1)B　(2)A 类型二　共面问题 例2　如图，已知a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ?α. 证明　因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a?β，点P ... ...