滚动训练三(§3.1～§3.2) 一、选择题 1．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 B 解析 e2i＝cos 2＋isin 2， 由于<2<π， 因此cos 2<0，sin 2>0，点(cos 2，sin 2)在第二象限，故选B. 2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在( ) A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 B 解析 ∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上． 3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 A 解析 当“a＝b＝1”时，“(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i”成立， 故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分条件； 当“(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i”时， “a＝b＝1”或“a＝b＝－1”， 故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的不必要条件； 综上所述，“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件． 4．设复数z＝，则z·等于( ) A．1 B. C．2 D．4 考点 复数四则运算的综合应用 题点 复数的混合运算 答案 C 解析 ∵z＝＝ ＝－1＋i， ∴＝－1－i，∴z·＝(－1＋i)(－1－i)＝2. 5．若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为( ) A．－1 B．0 C．i D．1 考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 B 解析 ∵z(i＋1)＝， ∴z＝＝＝－1， ∴z的虚部为0. 6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a等于( ) A．2 B．－2 C．±2 D．－ 考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 B 解析 由题意可得＝－＋i， 即＝＝＋i＝－＋i， ∴＝－，＝，∴a＝－2，故选B. 7．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A．若|z1－z2|＝0，则1＝2 B．若z1＝2，则1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2 D．若|z1|＝|z2|，则z＝z 考点 共轭复数的定义及应用 题点 与共轭复数有关的综合问题 答案 D 解析 对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2， 所以1＝2为真； 对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数， 所以1＝z2为真； 对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|， 则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b， 所以z1·1＝z2·2为真； 对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而z＝1，z＝－1，所以z＝z为假．故选D. 二、填空题 8．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝_____. 考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 －2i 解析 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数， 所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i. 9．复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则|z|＝_____. 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 解析 由(3－4i)z＝5＋10i知，|3－4i|·|z|＝|5＋10i|， 即5|z|＝5，解得|z|＝. 10．设复数z1＝i，z2＝，z＝z1＋z2，则z在复平面内对应的点位于第_____象限． 考点 复数四则运算的综合应用 题点 与混合运算有关的几何意义 答案 一 解析 z2＝＝＝＝－i，z1＝i， 则z＝z1＋z2＝i＋－i＝＋i. ∴z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限． 11．已知复数z＝(2a＋i)(1－bi)的实部为2，i是虚 ... ...
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