上海市2019届普陀区高三三模（2019.05）（简略答案）

普陀区高三三模数学试卷 2019.05 一. 填空题 1. 已知全集，集合，则 2. 四个数据：1，3，3，5的标准差是 3. 已知函数是偶函数，且，则 4. 抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是 5. 已知一个半球的俯视图是半径为1的圆，则半球的表面积为 6. 对数不等式的解集是，则实数的值为 7. 若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为 8. 已知△的三边长分别为3、5、7，则该三角形的外接圆半径等于 9. 已知关于的实系数方程两虚数根为、，且满足，则的值为 10. 从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数 小于（其中）的概率是，则 11. 若，，，满足：，，则的值为 12. 已知，函数（）的图像的两个端点分别为、，设是 函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若 恒成立，则的最大值是 二. 选择题 13. 已知与均为单位向量，其夹角为，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 14. 设，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 15. 已知、是关于的方程的两个实数根，则经过两点、的直线与双曲线公共点的个数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 不确定 16. 在平面上，， ，，若，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三. 解答题 17. 如图，已知正方体的棱长为2，、、分别为棱、、的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求直线与平面所成角的大小. 18. 在△中，角、、所对的边分别是、、. （1）若，，求△面积的最大值； （2）若，试判断△的形状. 19. 某城市自2014年至2019年每年年初统计得到的人口数量如表所示： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 人数（单位：万） 2082 2135 2203 2276 2339 2385 （1）设第年的人口数量为（2014年为第1年），根据表中的数据，描述该城市人口数 量和2014年至2018年每年该城市人口的增长数量的变化趋势； （2）研究统计人员用函数拟合该城市的人口数量，其中 的单位是年，假设2014年初对应，的单位是万，设的反函数为，求 的值（精确到0.1），并解释其实际意义. 20. 给定椭圆：（），称圆心在原点，半径为的圆是 椭圆的“伴随圆”，若椭圆一个焦点为，其短轴上一个端点到的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作椭圆的“伴随圆”的动弦，过点、分别作 “伴随圆”的切线，设两切线交于点，证明：点的轨迹是直线，并写出该直线方程； （3）设点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点，过点作椭圆的切线、，试判断直线、是否垂直？并说明理由. 21. 对于无穷数列，“若存在（，），必有”， 则称数列具有性质. （1）若数列满足，判断数列是否具有性质？ 是否具有性质？（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质， 则必为有限集； （3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是 否存在正整数、，使得、、、、、成等差数列，若存在，请加 以证明，若不存在，说明理由. 参考答案 一. 填空题 1. 2. 3. 5 4. 4 5. 6. 7. 8. 9. 3或5 10. 4或7 11. 12. 二. 选择题 13. C 14. C 15. A 16. D 三. 解答题 17.（1）；（2）. 18.（1）；（2）等腰三角形. 19.（1）人口数量每年都在递增，并且第3年到第4年增长数量最大为73万，第5年到第6年增长数量最小为46万；（2）8.1，2022年人口接近2440万. 20.（1）；（2）；（3）垂直. 21.（1）不具有，具有；（2）略；（3）存在，证明略. ... ...