模块综合试卷 (时间：120分钟 满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．i是虚数单位，复数的共轭复数是_____． 答案 2＋i 解析 ∵＝＝＝2－i， ∴的共轭复数是2＋i. 2．函数y＝的导数是_____． 答案 y′＝ 解析 y′＝ ＝. 3．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，i为虚数单位，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为_____． 考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 解析 因为z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i] ＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i ＝(2－m)＋(3m－1)i， 所以2－m＝3m－1，即m＝. 经检验，m＝能使2－m＝3m－1>0， 所以m＝满足题意． 4．演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y＝是对数函数，所以y＝是增函数”所得结论错误的原因是_____．(填序号) ①大前提错误； ②小前提错误； ③推理形式错误； ④大前提和小前提都错误． 答案 ① 解析 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)，当a>1时是增函数，当0
0；当x>时，f′(x)<0. ∴f(x)max＝f?＝－ln a－1＝－1， 解得a＝1. 8．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞1－f(x)，f(0)＝6，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)＞ex＋5(其中e为自然对数的底数)的解集为_____． 答案 (0，＋∞) 解析 由题意可知不等式为exf(x)－ex－5＞0， 设g(x)＝exf(x)－ex－5， ∴g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex ＝ex[f(x)＋f′(x)－1]＞0， ∴函数g(x)在定义域上是增函数．又∵g(0)＝0， ∴g(x)＞0的解集为(0，＋∞)． 9．若曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为_____． 答案 (1,0)或(－1，－4) 解析 设点P的坐标为(a，b)，因为f′(x)＝3x2＋1， 所以点P处的切线的斜率为f′(a)＝3a2＋1，又切线平行于直线y＝4x－1，所以3a2＋1＝4，解得a＝±1. 当a＝1时，由P(a，b)为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点， 得b＝0；当a＝－1时，同理可得b＝－4， 所以点P的坐标为(1,0)或(－1，－4)． 10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是_____． 答案 [－，] 解析 依题意可知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数， 所以f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则方程3x2－2ax＋1＝0在(－∞，＋∞)上至多有一个实根， 则Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤. 11．已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)2的解集为_____． 答案 (0，＋∞) 解析 令g(x)＝， ∴g′(x)＝′＝>0， ∴g(x)为增函数． 由>2得>， ∴g(x)>g(0)，∴x>0. 12．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝_____. 答案 4＋2i 解析 ∵(z1－2)(1＋i)＝1－i， ∴z1＝2－i. 设z2＝a＋2i，a∈R. z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i. 13．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有(s－1)at－(t－1)as＝0”．类 ... ... 