（复习公开课）二项式定理常见解题策略 课件+学案

高中数学重难点专题突破 专题四 二项式定理常见解题策略 【高考地位】 二项式定理有关问题/，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题. 【知识要点】 1、二项式定理的展开式：,其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项. 注意：项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在的展开式中,第r+1项的二项式系数为,第r+1项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数； 二项式定理的通项：二项展开式中第r+l项 3、项的系数和二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）． (2)增减性与最大值： 当时,二项式系数C的值逐渐增大,当时,C的值逐渐减小,且在中间取得最大值. 当n为偶数时,中间一项（第＋1项）的二项式系数取得最大值. 当n为奇数时,中间两项（第和＋1项）的二项式系数相等并同时取最大值. (3)各二项式系数和：∵,令,则 , (4)二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,很小时,有. (5)则设.有： ① ② ③ ④ ⑤ 【典例分析】 类型一 求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数 【例1】(1)设是展开式的中间项,若在区间上恒成立,则实数m的取值范围是( ) A．（－∞,5） B．（－∞,5] C．（5,＋∞） D．[5,＋∞） (2)的展开式中的常数项为 . (3)若的展开式中的常数项为,则的值为( ) A．6 B．20 C．8 D．24 类型二 二项式系数的性质与各项系数和 【例2】(1)设二项式n(∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn,则＝(　　) A．2n－1＋3 B．2(2n－1＋1) C．2n＋1 D．1 (2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为(　　) A．1或－3 B．－1或3 C．1 D．－3 【例3】已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992. (1)求的二项式系数最大的项； (2)求的展开式系数绝对值最大的项.. 类型三 二项式定理的应用 【例4】(1)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5,则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于_____． (2)已知m是一个给定的正整数,如果两个整数a,b除以m所得的余数相同,则称a与b对模m同余,记作a≡b(mod m),例如：5≡13(mod 4).若22015≡r(mod 7),则r可能等于(　　) A．2013 B．2014 C．2015 D．2016 (3)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来,如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　 ) A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5 B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5 C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5) D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5) 【例5】求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*,n>2)． 【课后练习】 选择题 1．设复数x＝(i是虚数单位),则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 015＝(　　) A．i B．－i C．－1－i D．1＋i 2．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝(　　) A．9 B．10 C．－9 D．－10 3．若的展开式中只有第六项 ... ...