高中数学重难点专题突破 专题一 圆锥曲线的离心率问题求解 【高考地位】 圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【知识要点】 / 椭圆离心率的性质： / 双曲线离心率的性质： 双曲线的离心率e，反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大,这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得以理解. 【典例分析】 一、离心率的求值 离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法： (1)直接求出a、c，求解e：已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解； (2)变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用，； (3)构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值. 【例1】已知椭圆/的左、右焦点分别为/，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为( ) A． B．/ C．/ D．/ 【例2】已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为_____． 二、离心率的范围求解 方法1 利用椭圆或者双曲线离心率的性质 解题模板：第/一步 根据题目意思找出满足条件的离心率的临界值； 第二步 判断离心率是要大于临界值还是要小于临界值，椭圆是根据的圆扁程度来判断离心率的大小，双曲线是根据开口的大小来判断离心率的大小； 第三步 确定离心率的范围. 【例3】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例4】设F为双曲线的右焦点，P是双曲线上的点，若它的渐近线上存在一点Q(在第一象限内)，使得,则双曲线离心率的取值范围是( ) A． B． C． D． 方法2 借助平面几何图形中的不等关系 解题模板：第/一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三/边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系， 第二步 将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式， 第三步 解不等式，确定离心率的范围. 【例5】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 方法3 借助题目中给出的不等信息 解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等； 第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解. 【例6】已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是 . 方法4 借助函数的值域求解范围 解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变/量的函数关系式； 第二步 通过确定函数的定义域； 第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围. 【例7】是经过双曲线 焦点且与实轴垂直的直线, 是双曲线的两个顶点, 若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为( ) A． B． C． D． 【例8】已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点位P . 若(O为坐标原点)，则双曲线的离心率取值范围是( ) A． B． C． D． 【课后练习】 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 2．点P（-3，1）在椭圆（）的左准线 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
