课件41张PPT。专题突破三 焦点弦的性质第二章 圆锥曲线与方程 抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化. 一、焦点弦性质的推导 例1 抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为A1，B1.②当AB的斜率存在时，设为k(k≠0)，代入抛物线方程y2＝2px，证明 当θ≠90°时，过A作AG⊥x轴，交x轴于G，由抛物线定义知|AF|＝|AA1|， 在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cos θ， 由图知|GG1|＝|AA1|，当θ＝90°时，可知|AF|＝|BF|＝p，证明 |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p当且仅当θ＝90°时取等号. 故通径长2p为最短的焦点弦长.证明 由(2)可得，(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明 如图：⊙M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于M1，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.二、焦点弦性质的应用 例2 (1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为√设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.10√解析 方法一 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)， 由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l1的斜率为k，同理得|DE|＝4＋4k2，故|AB|＋|DE|的最小值为16.方法二 运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，点评 上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题.√解析 方法一 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由|AF|＝3及抛物线定义可得， x1＋1＝3，∴x1＝2，√焦点坐标为(0,1). 设A，B，C，D，E的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，y5，∴y1－1＋y2－1＋y3－1＋y4－1＋y5－1＝0， ∴y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5，点评 用坐标表示向量，可以利用定义将向量的模长与坐标建立起联系.跟踪训练2 如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比为√12345√针对训练ZHENDUIXUNLIAN6781234567解析 如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′， 由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，812345√67812345√67812345√67解析 由焦点弦的性质知， y1y2＝－4，即|y1|·|y2|＝4，当且仅当|y1|＝|y2|＝2时，取等号.85.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝4，则p的值为1234567√81234567解析 设直线l的倾斜角为θ，86.已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是 A.等于1 B.等于4 C.最小值是1 D.最大值是41234567√8解析 设直线l：x＝ty＋1， 代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0. 设A(x1，y1)，D(x2，y2)， 根据抛物线的定义知， |AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1， 故|AB|＝x1，|CD|＝x2，1234567而y1y2＝－4，故|AB|·|CD|＝1.87.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.若|AF|＝3|BF|，则l的方程为 A.y＝x－1或y＝－x＋11234567√812345678123456788.设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3 ... ...
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