课件23张PPT。1.3 中国古代数学中的算法案例第一章 算法初步学习目标 1.理解更相减损之术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析. 2.理解割圆术中蕴含的数学原理. 3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质. 4.对简单的案例能设计程序框图并写出算法.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 更相减损之术更相减损之术的运算步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 .若是，用 约简；若不是，执行 . 第二步，以 的数减去 的数，接着把所得的差与 的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.偶数2第二步较大较小较小相等知识点二 割圆术1.割圆术的算法 S1 假设圆的半径为1，面积为S，圆内接正n边形面积为Sn，边长为xn，边心距为hn，先从圆内接正六边形的面积开始算起，即n＝6，则正六边形的面积S6＝6× ； S2 利用公式S2n＝Sn＋n· ·xn(1－hn)重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形…的面积.因为圆的半径为1，所以随着n的增大，S2n的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值.2.割圆术的算法思想 刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值.用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”思考 衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度.把多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1变形为f(x)＝((((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，然后求当x＝5时的值，为什么比常规逐项计算省时？知识点三 秦九韶算法答案 从里往外计算，充分利用已有成果，可减少重复计算.梳理 秦九韶算法的一般步骤： 把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式： (…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算 一次多项式的值，即v1＝ ，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2＝ ， v3＝ ， … vn＝ ， 这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求 的值.最内层括号内anx＋an－1v1x＋an－2v2x＋an－3vn－1x＋a0n个一次多项式[思考辨析 判断正误] 1.辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.( ) 2.求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法.( ) 3.编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句.( )√×√题型探究例1 试用更相减损之术求612,396的最大公约数.题型一 更相减损之术解答解 方法一 612÷2＝306,396÷2＝198,306÷2＝153,198÷2＝99， ∴153－99＝54,99－54＝45,54－45＝9,45－9＝36,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9. 所以612,396的最大公约数为9×22＝36. 方法二 612－396＝216,396－216＝180,216－180＝36,180－36＝144,144－36＝108,108－36＝72,72－36＝36. 故36为612,396的最大公约数.反思与感悟 用更相减损之术的算法步骤： 第一步，给定两个正整数m，n，不妨设m＞n. 第二步，若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m，n. 第三步，d＝m－n. 第四步，判断“d≠n”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，2kd(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数.跟踪训练1 用更相减损之术求261和319的最大公约数.解答解 ∵319－261＝58， 261－58＝203， 203－58＝145， 145－58＝87， 87－58＝29， 58－29＝29， ∴319与261的最大公约数为29.解 将f(x)改写为 f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8， 由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值： v0＝4；v1＝4×5＋2＝22； v2 ... ...
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