第一章 算法初步 1 算法概念的诠释 同学们也许对算法这个概念很陌生，但其实大家在日常生活中已经接触过很多算法了．广义地说，算法就是做某一件事情的步骤或程序．菜谱是做菜肴的“算法”，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的“算法”．算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础，它可理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤． 一、算法的特征 1．确定性 确定性：算法中的每条运算规则必须是明确定义的、可行的，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，运行终止应得到问题的解答或指出问题没有解答． 2．有限性 一个算法必须保证在执行有限步后结束，不能出现无限循环或死循环．这里说的“有限性”一般指算法在合理的范围以内，一般由人们的常识和需要以及计算机性能而定．例如，计算机执行一个算法需要一千年才能结束，这个算法虽然有限，但超过了合理的限度，因而也不是一个有效算法． 二、算法的思想 在数学中，计算一个函数值、求解一个方程、证明一个结论等等，我们都需要有一个清晰的思路，一步一步去完成，这就是算法的思想，即程序化思想．它强调的是通性通法，给出一个算法实际上是给出了一种解决问题(特别是数学问题)的方法． 三、特别提示 1．在算法的理解方面，是指使用一系列运算规则，能在有限步骤内求解某类问题，其中每条规则必须是明确定义的，可行的． 2．算法中的每一步应该是确定的并且能够有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可，如求近似值却没有要求近似的精确度，则该问题不能求解． 3．在设计算法时，算法应有一个或多个输出，算法的目的是为了求解，没有输出的算法是没有意义的． 4．只要有公式可以利用，利用公式解决问题是最理想、最简便的方法，比如在写解方程x2－3x－4＝0的算法时，用求根公式来做，步骤则较为简洁． 5．求解某一个问题的算法一般不是唯一的，我们通常选择较为简单的算法． 四、典例分析 例1 已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积，设计一个算法解决这个问题． 分析 对于已知等边三角形的边长求面积的题目．同学们已经很熟悉，回顾其中的解题过程不难得到这个问题的算法步骤． 解 算法步骤如下： S1 输入a的值． S2 计算l＝的值． S3 计算S＝×l2的值． S4 输出S的值． 例2 下面给出了一个问题的算法： S1 输入x. S2 若x≥4，则执行第三步，否则执行第四步． S3 输出2x－1. S4 输出x2－2x＋3. 这个算法解决的问题是什么？ 分析 依据题目给出的算法步骤依次执行，分别写出其对应的结果就可以很容易解决此题． 解 这个算法先是输入一个变量x，当x≥4时输出2x－1，当x<4时输出x2－2x＋3，不难发现这个算法解决的问题是求分段函数f(x)＝的函数值. 2 典型算法举例 1．解方程(方程组)、不等式的算法 例1 用自然语言描述求一元二次方程x2＋bx＋c＝0的根的算法． 思维切入 对于求方程的根，解方程组这样的数值型的问题，我们都有具体的计算方法，只要我们把平时的计算方法严格地按步骤描述出来即可．因此我们很容易得到下面的算法． 解 用自然语言来描述算法， S1 计算Δ＝b2－4ac. S2 如果Δ<0，则原方程无实数解，否则(Δ≥0)x1＝，x2＝. S3 输出x1，x2或无实数解的信息． 评注 第二步中包含了一个判断Δ＝b2－4ac是否小于零的条件，并根据判断结果进行不同的处理，在算法中称作条件分支结构． 例2 写出解x2－4x＋3<0的算法． 思维切入 只要把平时的固定解法有条理地写出来，即为解不等式的算法． 解 S1 求出对应方程的根x1＝1，x2＝3. S2 确定根的大小x1
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