1.1.2 余弦定理（1）同步学案

高二数学 必修5 第一章 §1.1.2 余弦定理（1） 班级 姓名 . 学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式； 2. 证明余弦定理的向量方法； 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 学习过程 一、课前准备 复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ． 复习2：大角对大边，大边对大角 复习3：正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化 二、新课导学 ※ 探究新知 问题：在中，、、的长分别为、、. ∵ ， ∴ 同理可得： ， ． 新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍． 思考：这个式子中有几个量？ 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论： 变形：＿＿＿＿＿＿；＿＿＿ ＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿； [理解定理] （1）若C=，则 ，这时 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角． ※ 典型例题 例1、在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A. 总结　解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．21世纪教育网版权所有 例2、在△ABC中，已知三边长，，，求三角形的最大内角． 变式、在ABC中，若，求角A． 例3、如图所示，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°.求BC的长。 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 2. 余弦定理的应用范围： ① 已知三边，求三角； ② 已知两边及它们的夹角，求第三边． 知识拓展 在△ABC中， 若，则角是直角；若，则角是钝角；若，则角是锐角． 课后作业 一、基础训练题 1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　)． A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝ 2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为(　　)． A. B. C. D. 3．已知△ABC满足B＝60°，AB＝3，AC＝，则BC的长等于(　　) A．2 B．1 C．1或2 D．无解 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为(　　) A. B. C.或 D.或 5．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC (　　)． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 6．在△ABC中，如果sinA∶sinB∶sinC＝5∶6∶8，那么此三角形最大角的余弦值是_____． 7．在△ABC中，B＝且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为_____． 8、△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则＝_____. 9．在△ABC中，∠A＝60°，AC＝1，△ABC的面积为，则BC的长为_____． 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，a＝4，b＋c＝6，且b