§1 函数与方程 1．1 利用函数性质判定方程解的存在 学习目标 1.了解函数的零点与方程的根的关系；2.会判断函数零点的存在性；3.初步理解函数与方程思想． 知识点一 函数的零点 定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点． 【预习评价】 1．函数的零点是点吗？ 提示 函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数． 2．结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思考是否所有的函数都有零点？并说明理由． 提示 不一定．因为函数的零点就是方程的根，但不是所有的方程都有根，所以说不是所有的函数都有零点． 如：指数函数，其图像都在x轴的上方，与x轴没有交点，故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点． 知识点二 函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． 【预习评价】 1．若4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点，则a的值等于( ) A．4 B．－4 C．－ D． 解析 因为4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点， 所以a×42－2log24＝0，解得a＝． 答案 D 2．函数f(x)＝x2－5x的零点是_____． 解析 令x2－5x＝0，解得x1＝0或x2＝5，所以函数f(x)＝x2－5x的零点是0和5． 答案 0和5 知识点三 函数零点存在性的判断 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解． 【预习评价】 1．若f(a)·f(b)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？ 提示 不一定．如y＝x2－1在区间(－2,2)上有两个零点，但f(2)·f(－2)>0． 2．结合教材P116例3，你认为求函数零点个数的常用方法有哪些？ 提示 法一 利用方程的根，转化为解方程，方程有几个根相对应的函数就有几个零点． 法二 利用函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数． 法三 结合函数的单调性．若函数在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，利用f(a)·f(b)<0，结合单调性可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． 法四 转化成两个函数图像的交点问题． 题型一 求函数的零点 【例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝x2＋7x＋6； (2)f(x)＝1－log2(x＋3)； (3)f(x)＝2x－1－3； (4)f(x)＝． 解 (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0， 得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6． (2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1， 所以函数的零点是－1． (3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26． (4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6． 规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点． 【训练1】 函数y＝x－1的零点是( ) A．(1,0) B．0 C．1 D．不存在 解析 令y＝x－1＝0，得x＝1，故函数y＝x－1的零点为1． 答案 C 题型二 判断函数零点所在区间 【例2】 已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( ) A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1) 解析 ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，f(4)＝59>0． ∴f(1)·f(2)<0，此零点一定在(1,2)内． 答案 C 规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图像． 2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图像在[a，b]上连续，且f ... ...
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