2020版高考数学一轮复习 （北京专版）第一节 函数及其表示

第一节　函数及其表示 A组　基础题组 1.已知函数f(x)=x|x|,若f(x0)=4,则x0的值为(　　) A.-2 B.2 C.-2或2 D.2 答案　B　当x≥0时, f(x)=x2,此时f(x0)=4,即x02=4,解得x0=2(舍负). 当x<0时, f(x)=-x2,此时f(x0)=4,即-x02=4,无解. 所以x0=2,故选B. 2.设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式是(　　) A.g(x)=2x+1 B.g(x)=2x-1 C.g(x)=2x-3 D.g(x)=2x+7 答案　B　∵g(x+2)=f(x)=2x+3=2(x+2)-1, ∴g(x)=2x-1. 3.函数f(x)=ln1+1x+1-x2的定义域为(　　) A.(-1,1] B.(0,1] C.[0,1] D.[1,+∞) 答案　B　由条件知1+1x>0,x≠0,1-x2≥0,即x<-1或x>0,x≠0,-1≤x≤1, 则x∈(0,1]. ∴原函数的定义域为(0,1]. 4.已知函数f(x)=log3x,x>0,ax+b,x≤0,且f(0)=2, f(-1)=3,则f(f(-3))=　　　(　　) A.-2 B.2 C.3 D.-3 答案　B　f(0)=a0+b=1+b=2,解得b=1. f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得a=12. 故f(-3)=12-3+1=9, f(f(-3))=f(9)=log39=2. 5.(2016北京西城二模,6)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)=C,0A.已知某家庭今年前三个月的煤气使用量和煤气费如下表: 月份 使用量 煤气费 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则煤气费为(　　) A.11.5元 B.11元 C.10.5元 D.10元 答案　A　由题中表格易知4≤A<25, 由题意可得C=4,4+B(25-A)=14,4+B(35-A)=19, 解得A=5,B=12,C=4, ∴f(x)=4,05. 当x=20时, f(20)=4+12×(20-5)=11.5.故选A. 6.已知实数a≠0,函数f(x)=2x+a,x<1,-x-2a,x≥1.若f(1-a)=f(1+a),则a的值为　　　　.? 答案　-34 解析　分类讨论: ①当a>0时,1-a<1,1+a>1. 这时f(1-a)=2(1-a)+a=2-a, f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a. 由f(1-a)=f(1+a)得2-a=-1-3a, 解得a=-32,不符合,舍去. ②当a<0时,1-a>1,1+a<1, 这时f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a, f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a, 由f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a, 解得a=-34. 综合①②知a的值为-34. 7.已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数y=f(x2-2)的值域. 解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由题意可知c=0,a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+bx+c+x+1, 整理得c=0,ax2+(2a+b)x+a+b+c=ax2+(b+1)x+c+1, ∴2a+b=b+1,a≠0,a+b+c=c+1,c=0,解得a=12,b=12,c=0. ∴f(x)=12x2+12x. (2)由(1)知,y=f(x2-2)=12(x2-2)2+12(x2-2)=12(x4-3x2+2)=12x2-322-18, 当x2=32时,y取最小值-18,无最大值 故函数y=f(x2-2)的值域为-18,+∞. 8.(2016北京东城期中,19)如图所示,函数f(x)的定义域为[-1,2],f(x)的图象为折线AB,BC. (1)求f(x)的解析式; (2)解不等式f(x)≥x2. 解析　(1)由题图可知A(-1,0),B(0,2),C(2,0). 故f(x)=2x+2,-1≤x<0,-x+2,0≤x≤2. (2)不等式f(x)≥x2可化为-1≤x<0,2x+2≥x2或0≤x≤2,-x+2≥x2, 解得1-3≤x<0或0≤x≤1. 所以不等式的解集为{x|1-3≤x≤1}. B组　提升题组 9.(2017北京西城期末,12)函数y=x+4x的定义域是　　　　;最小值是　　　　.? 答案　(0,+∞);4 解析　要使y=x+4x有意义,则分母不为0且x有意义,则x>0,故函数y=x+4x的定义域是(0,+∞).因为y=x+4x=x+4x≥4,当且仅当x=4x,即x=4时,等号成立,故最小值为4. 思路分析　根据根式及分式有意义的条件可求函数定义域;将原函数解析式化为y=x+4x=x+4x,应用基本不等式可求最小值. 方法点拨　求函数的值域时可以应用函数的性质,也可以应用基本不等式. 10.(2017北京东城一模,14)已知函数f(x)=1,0≤x<12,-1,12≤x<1,0,x<0或x≥1和g(x)=1,0≤x<1,0,x<0或x≥1,则g(2x)=　　　　;若m,n∈Z,且m·g(n·x)-g(x)=f(x),则m+n=　　　　.? 答案　1,0≤x<12,0,x<0或x≥12;4 解析　由题意可得g(2x)=1,0≤x<12,0,x<0或x≥12. ∵m·g(n·x)-g(x)=f(x),∴易知m·g(n·x)= ... ...