第三节 导数与函数的极值与最值 A组 基础题组 1.(2017北京丰台二模,18)已知函数f(x)=ex-aln x-a. (1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)证明:?a∈(0,e), f(x)在区间ae,1上有极小值,且极小值大于0. 解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞), 因为a=e,所以f(x)=ex-e(ln x+1),所以f '(x)=ex-ex. 因为f(1)=0, f '(1)=0, 所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=0. (2)证明:因为0
0, 所以?x0∈ae,1,使得ex0-ax0=0. 所以?x∈ae,x0, f '(x)<0;?x∈(x0,1), f '(x)>0, 故f(x)在ae,x0上单调递减,在(x0,1)上单调递增, 所以f(x)有极小值f(x0). 因为ex0-ax0=0, 所以f(x0)=ex0-a(ln x0+1)=a1x0-ln x0-1. 设g(x)=a1x-lnx-1,x∈ae,1, 则g'(x)=a-1x2-1x=-a(1+x)x2, 所以g'(x)<0, 即g(x)在ae,1上单调递减,所以g(x)>g(1)=0, 即f(x0)>0,所以函数f(x)的极小值大于0. 2.已知函数f(x)=-x3+x2,x<1,alnx,x≥1. (1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极大值点和极小值; (2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值. 解析 (1)当x<1时, f '(x)=-3x2+2x=-x(3x-2), 令f '(x)=0,解得x=0或x=23. 当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 0,23 23 23,1 f '(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 故当x=0时,函数f(x)取得极小值,为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=23. (2)①当-1≤x<1时,由(1)知,函数f(x)在[-1,0)和23,1上单调递减,在0,23上单调递增. 因为f(-1)=2, f23=427, f(0)=0, 所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2. ②当1≤x≤e时, f(x)=aln x,当a≤0时, f(x)≤0; 当a>0时, f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a. 综上所述,当a≥2时, f(x)在[-1,e]上的最大值为a; 当a<2时, f(x)在[-1,e]上的最大值为2. 3.(2018北京海淀期中)已知函数f(x)=x-(a+1)ln x-ax,其中a>0. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值g(a).(其中e是自然对数的底数) 解析 (1)当a=2时,f(x)=x-3ln x-2x, f '(x)=(x-1)(x-2)x2, 此时,f(1)=-1,f '(1)=0,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1. (2)f(x)=x-(a+1)ln x-ax的定义域为(0,+∞), f '(x)=1-a+1x+ax2=(x-1)(x-a)x2, 令f '(x)=0,得x=a或x=1. ①当00,f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)min=f(1)=1-a; ②当11时, f(x)=1-xex<0; 当x<1时, f(x)=1-xex>0. 若a≤1,由(2)可知f(x)的最小值为f(2), f(x)的最大值为f(a), 所以对任意x1,x2∈[a,+∞),有f(x1)-f(x2)≥-1e2成立等价于f(2)-f(a)≥-1e2,即-1e2-1-aea≥-1e2, 解得a≥1,∴a=1. 若a>1,求出a的值显然大于1. 所以a的最小值为1. 解法二: 当x>1时, ... ... 