专题十七 空间向量与立体几何 挖命题 【真题典例】 【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 空间向量及应用 1.空间向量的概念 2.空间向量共线、共面的充分必要条件 3.空间向量的加法、减法及数乘运算 4.空间向量的坐标表示 5.空间向量的数量积 6.空间向量的共线与垂直 7.空间向量的应用 2015江苏,22 1.求二面角 2.求异面直线所成角 3.空间向量的数量积 直线与平面所成角 ★★★ 2017江苏,22 1.求异面直线所成角 2.求二面角 3.空间向量的数量积 2018江苏,22 1.求异面直线所成角 2.求直线与平面所成角 3.空间向量的数量积 分析解读 空间向量及其应用在高考中的考查比较单一,主要涉及用空间向量求解空间几何体中的异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角以及存在性问题或角的取值范围问题.考查的几何体主要是棱柱、棱锥等常规几何体,难度中等. 破考点 【考点集训】 考点一 空间向量的运算 1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值是 .? 答案 2,12或-3,12 2.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为 .? 答案 355 3.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算: (1)EF·BA; (2)EF·DC. 解析 设AB=a,AC=b,AD=c, 则|a|=|b|=|c|=1,
===60°. EF=12BD=12c-12a,BA=-a,DC=b-c,所以 (1)EF·BA=12c-12a·(-a)=12a2-12a·c=14. (2)EF·DC=12(c-a)·(b-c)=12(b·c-a·b-c2+a·c)=-14. 考点二 空间向量的应用 1.(2018江苏泰兴中学调研,22)如图,在三棱锥P-ABC中,已知平面PAB⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2a,点O,D分别是AB,PB的中点,PO⊥AB,连接CD. (1)若PA=2a,求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小; (2)若二面角A-PB-C的余弦值的大小为55,求PA. 解析 连接OC. 因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PO⊥AB,PO?平面PAB,所以PO⊥平面ABC,从而PO⊥AB,PO⊥OC. 因为AC=BC,点O是AB的中点,所以OC⊥AB,且OA=OB=OC=2a. 如图,建立空间直角坐标系O-xyz. (1)因为PA=2a,所以PO=PA2-AO2=(2a)2-(2a)2=2a. 所以A(0,-2a,0),B(0,2a,0),C(2a,0,0),P(0,0,2a),D0,2a2,2a2. 从而PA=(0,-2a,-2a),CD=-2a,22a,22a. 因为cos<PA,CD>=PA·CD|PA||CD|=-2a22a·3a=-33,所以异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为33. (2)设PO=h,则P(0,0,h). 因为PO⊥OC,OC⊥AB,而PO∩AB=O,所以OC⊥平面PAB. 从而OC=(2a,0,0)是平面PAB的一个法向量. 不妨设平面PBC的法向量为n=(x,y,z). 因为PB=(0,2a,-h),BC=(2a,-2a,0),所以n·PB=0,n·BC=0,所以2ay=hz,x=y. 不妨令x=1,则y=1,z=2ah,则n=1,1,2ah. 由已知,得55=|OC·n||OC||n|=2a2a·2+2a2h2, 化简得h2=23a2, 所以PA=PO2+OA2=23a2+2a2=263a. 2.(2019届江苏梁丰中学调研)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1. (1)求二面角A-DF-B的大小; (2)试在线段AC上确定一点P,使PF与BC所成的角为60°. 解析 (1)由已知易得CD,CB,CE两两垂直,以CD,CB,CE为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,2,0),A(2,2,0),E(0,0,1),F(2,2,1). 由题意易得平面ADF的一个法向量为m=(1,0,0). 设平面BDF的法向量为n=(x,y,z). 又BD=(2,-2,0),BF=(2,0,1), 则n·BD=2x-2y=0,n·BF=2x+z=0. 令x=1,则y=1,z=-2,所以n=(1,1,-2)是平面BDF的一个法向量. 设二面角A-DF-B的大小为θ,显然θ为锐角, 所以cos θ=|cos|=(1,0,0)·(1,1,-2)1×2=12,所以θ=60°,即二面角A-DF-B的大小为60°. (2)设P(λ,λ,0),λ∈[0,2],则PF=(2-λ,2-λ,1), 因为异面直线PF与BC所成的角为60°,所以|cos<PF,BC>|=12, 即|-2(2-λ)|2(2-λ)2+1·2=12,解得λ=22或λ=322(舍去). 所以当P是线段AC的中点时, ... ... 