2020版高考数学人教A版（江苏专版）一轮复习　离散型随机变量的均值与方差

21.3　离散型随机变量的均值与方差 挖命题 【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 离散型随机变量的均值与方差 求期望与方差 2017江苏,23 离散型随机变量的概率分布及期望 独立事件的概率 ★★★ 分析解读　　离散型随机变量主要考查期望,一般不涉及方差,模型考查也基本上是书中所涉及的模型.以中档题为主. 破考点 【考点集训】 考点　离散型随机变量的均值与方差 1.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立. (1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率; (2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望. 解析　(1)记甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜分别为事件A,B,C.由题意得 P(A)=233=827, P(B)=C32232·13·23=827, P(C)=C42232·132·12=427. (2)X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=3)=P(A)+P(B)=1627, P(X=2)=P(C)=427, P(X=1)=C42232·132·12=427, P(X=0)=1-P(1≤X≤3)=19. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 19 427 427 1627 从而E(X)=0×19+1×427+2×427+3×1627=209. 答:甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率分别为827,827,427.甲队得分X的数学期望为209. 2.(2018江苏扬州考前模拟)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=22,从正四棱柱的8个顶点中任取3个点构成三角形,记三角形的面积为X. (1)求P(X=4)的值; (2)求X的分布列和数学期望. 解析　(1)共有C83种等可能基本事件,其中满足X=4的有2C43=8种, 记“X=4”为事件A,则P(A)=2C43C83=17. (2)X的可能取值为2,22,23,4,25, P(X=2)=2C43C83=17,P(X=22)=4C43C83=27,P(X=23)=4C43C83=27,P(X=4)=2C43C83=17,P(X=25)=2C43C83=17, 则X的分布列为 X 2 22 23 4 25 P 17 27 27 17 17 所以E(X)=1×2+2×22+2×23+4×1+1×257=6+42+43+257. 炼技法 【方法集训】 方法　离散型随机变量的期望的综合问题 1.某公司有10万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:一年后可能获利10%,可能损失10%,可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为12,14,14;如果投资乙项目,一年后可能获利20%,可能损失20%,这两种情况发生的概率分别为α和β(α+β=1). (1)如果把10万元投资甲项目,用X表示投资收益(收益=回收资金-投资资金),求X的概率分布列及数学期望E(X); (2)若10万元资金投资乙项目的收益不低于投资甲项目的收益,求实数α的取值范围. 解析　(1)把10万元资金投资甲项目,一年后可能获利1万元,可能损失1万元,可能不赔不赚. 所以X的所有可能取值为1,-1,0.(单位:万元) 所以X的分布列为 X 1 -1 0 P 12 14 14 所以X的数学期望E(X)=1×12+(-1)×14+0×14=14(万元). (2)把10万元资金投资乙项目,一年后可能获利2万元,可能损失2万元. 设Y表示10万元资金投资乙项目的收益,则Y的分布列为 Y 2 -2 P α β 所以E(Y)=2α-2β=2α-2(1-α)=(4α-2)万元. 由题意,得E(Y)≥E(X),即4α-2≥14,解得α≥916. 由概率的意义知0≤α≤1,所以α的取值范围是916,1. 2.(2017江苏南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱. (1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率; (2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a,求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布列及数学期望. 解析　(1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A, 则事件A的对立事件A为“没有演唱1首原创新曲”. 所以P(A)=1-P(A)=1-C54C84=1314. (2)设乐队共演唱了Y首原创新曲, 则随机变量Y~H(4,3,8), P(Y=k)=C3kC54? ... ...