专题七 数 列 【真题典例】 7.1 数列的有关概念 挖命题 【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 数列的概念及通项公式 1.求通项公式 2.数列的性质 3.数列的递推公式 4.an与Sn的关系的应用 2015江苏,11 利用递推式求通项 求数列的前n项和 ★★ 分析解读 本节知识一般不单独考查,通常结合等差数列和等比数列进行综合考查,其中利用递推公式求通项公式及an与Sn的关系的应用,常常在综合题中出现. 破考点 【考点集训】 考点 数列的概念及通项公式 1.(2019届江苏汇龙中学检测)已知数列{an},an=-2n2+λn.若该数列是递减数列,则实数λ的取值范围是 .? 答案 (-∞,6) 2.(2018江苏盐城中学检测)数列{xn}中,若x1=1,xn+1=1xn+1-1,则x2 018= .? 答案 -12 3.(2019届江苏江阴中学检测)已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则满足ann≤2的正整数n的集合为 .? 答案 {1,2,3,4} 4.已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=13n+1,则an= .? 答案 76-12×3n 5.(2019届江苏南通天星湖中学检测)已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4. (1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值; (2)对于n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围. 解析 (1)由n2-5n+4<0,解得1an知该数列是一个递增数列, 又因为通项公式an=n2+kn+4可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*, 所以-k2<32,即得k>-3. 所以实数k的取值范围为(-3,+∞). 炼技法 【方法集训】 方法一 由递推关系式求通项公式的常用方法 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; (2)a1=1,an+1=(n+1)an; (3)a1=2,an+1=an+ln1+1n. 解析 (1)因为an+1=3an+2, 所以an+1+1=3(an+1),所以an+1+1an+1=3, 所以数列{an+1}为等比数列,公比q=3,又a1+1=2, 所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1. (2)因为an+1=(n+1)an,且易知an≠0,所以an+1an=n+1. 所以anan-1=n,an-1an-2=n-1, …… a3a2=3,a2a1=2,又a1=1, 故累乘可得,an=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!. 故an=n!. (3)因为an+1=an+ln1+1n, 所以an+1-an=ln1+1n=lnn+1n. 所以an-an-1=lnnn-1,an-1-an-2=lnn-1n-2, …… a2-a1=ln21, 所以an-a1=lnnn-1+lnn-1n-2+…+ln21=ln n. 又a1=2,所以an=ln n+2. 方法二 Sn与an关系问题的求解策略 (2019届江苏宿迁中学检测)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n为正整数). (1)求出数列{an}的通项公式; (2)若对任意正整数n,k≤Sn恒成立,求实数k的最大值. 解析 (1)因为3an+1+2Sn=3①, 所以当n≥2时,3an+2Sn-1=3②, 由①-②,得3an+1-3an+2an=0, 所以an+1an=13(n≥2). 又a1=1,3a2+2a1=3, 解得a2=13, 所以数列{an}是首项为1,公比q=13的等比数列. 所以an=a1qn-1=13n-1(n为正整数). (2)由(1)知,Sn=321?13n, 由题意可知,对于任意的正整数n,恒有k≤321?13n, 因为数列1?13n单调递增,当n=1时,数列取得最小值23, 所以必有k≤1,即实数k的最大值为1. 过专题 【五年高考】 A组 自主命题·江苏卷题组 (2015江苏,11,5分,0.667)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列1an前10项的和为 .? 答案 2011 B组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点 数列的概念及通项公式 1.(2018课标全国Ⅰ理,14,5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= .? 答案 -63 2.(2014课标Ⅱ,16,5分)数列{an}满足an+1=11?an,a8=2,则a1= .? 答案 12 3.(2015课标Ⅱ,16,5分,0.154)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= .? 答案 -1n 4.(2018浙江,20 ... ...
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