1．1 归纳推理 归纳推理 问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们都能导电吗？ 提示：都能导电． 问题2：由问题1你能得出什么结论？ 提示：一切金属都能导电． 问题3：若数列{an}的前四项为2,4,6,8，试写出an. 提示：an＝2n(n∈N＋)． 问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？ 提示：都是由几个特殊事例得出一般结论． 归纳推理 定义 特征 根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理. 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理. 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，得到的结论不一定正确，其正确性还有待于严格的证明或举例说明其结论的不正确性． 数与式的归纳 [例1] (1)已知下列各式： 1>， 1＋＋>1， 1＋＋＋＋＋＋>， 1＋＋＋…＋>2， …， 请你归纳出一般性结论：_____. (2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为_____，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为_____． [思路点拨] (1)观察左边最后一项分母的特点为2n－1，不等式右边为，由此可得一般结论． (2)由函数关系列出前几项，归纳出一般性结论． [精解详析] (1)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增大1，且终止项为2n－1，不等式右边依次为，，，，…，从而归纳得出一般结论：1＋＋＋…＋>. (2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝. 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))， ∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝， f3(x)＝f2(f2(x))＝＝， f4(x)＝f3(f3(x))＝＝， f5(x)＝f4(f4(x))＝＝， ∴根据前几项可以猜想fn(x)＝. [答案] (1)1＋＋＋…＋> (2)f3(x)＝ fn(x)＝ [一点通] 1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法 (1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．数列中的归纳推理 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和； (2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式． 1．试探究下列一组数列的基本规律：0,2,6,14,30，…，根据规律写出第6个符合规律的数，这个数是( ) A．60 B．62 C．64 D．94 解析：选B 这个数列从第二项起，每一项与它前一项的差依次等于2,22,23,24，所以第6个符合规律的数应为30＋25＝62. 2．观察下列不等式： 1＋<， 1＋＋<， 1＋＋＋<， …… 照此规律，第五个不等式为( ) A．1＋＋＋＋< B．1＋＋＋＋< C．1＋＋＋＋＋< D．1＋＋＋＋＋< 解析：选D 观察每个不等式的特点，知第五个不等式为1＋＋＋＋＋<. 3．给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) …… 记第i行的第 j 个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝( ) A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m) C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m) 解析：选A (1)由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)． 4．观察下列等式： (1＋1)＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …… 照此规律，第n个等式可为_____． 解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)． 答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1) 图与形的归纳 [例2] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱 ... ...
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