1变化的快慢与变化率 平均变化率 下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况： x(min) 0 10 20 30 40 50 60 y(℃) 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9 问题1：观察上表，每10分钟病人体温变化相同吗？ 提示：不相同． 问题2：哪段时间体温变化较快？ 提示：从20 min到30 min变化快． 问题3：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用单位时间内的温度变化的大小，即体温的平均变化率． 平均变化率 (1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为. 其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝. (2)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. 瞬时变化率 一质点的运动方程为s＝10t2，其中s表示位移，t表示时间． 问题1：求该质点从t1＝1到t2＝2的平均速度1. 提示：1＝＝30. 问题2：问题1中所求得的速度是t＝1或t＝2时的速度吗？ 提示：不是，是平均速度． 问题3：求该质点从t1＝1到t1＝1.1的平均速度2. 提示：2＝＝21. 问题4：1，2中哪一个值较接近t＝1时的瞬时速度？ 提示：2，因为从t1＝1到t2＝1.1的时间差短． 瞬时变化率 (1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝＝.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率． (2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢． (1)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快． (2)平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度． 求函数平均变化率 [例1] 已知函数f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在[2,2.01]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． [思路点拨] 先求Δx，Δy，再利用平均变化率的定义求解． [精解详析] (1)由f(x)＝2x2＋1， 得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2， Δx＝2.01－2＝0.01， ∴＝＝8.02. (2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1 ＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴＝＝4x0＋2Δx. [一点通] 求平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率＝. [注意] Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0. 1．在曲线y＝x2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则为( ) A．Δx＋＋2 B．Δx－－2 C．Δx＋2 D．2＋Δx－ 解析：选C ∵x1＝1，x2＝1＋Δx，即Δx＝x2－x1， ∴Δy＝(x＋1)－(x＋1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2， ∴＝＝2＋Δx. 2．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在区间[1,2]和[3,5]上的平均变化率， 并比较在两个区间上变化的快慢． 解：自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝. 自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.由于<， 所以函数f(x)＝x＋在[1,2]的平均变化比在[3,5]的平均变化慢． 运动物体的平均速度与瞬时速度 [例2] 已知s(t)＝5t2. (1)求t从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t＝3秒时的瞬时速度． [精解详析] (1)当3≤t≤3.1时，Δt＝0.1， Δs＝s(3.1)－s(3) ＝5×(3.1)2－5×32 ＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)， ∴＝＝30.5(m/s)． (2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0 ... ...
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