2.1.1 指数与指数幂的运算(二) 学习目标 1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.3.了解无理数指数幂的意义． 知识点一 分数指数幂 思考 根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？ ①＝＝a2＝(a>0)； ②＝＝a4＝(a>0)； ③＝＝a3＝(a>0)． 答案 当a>0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数． 梳理 分数指数幂的定义： (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 知识点二 有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 知识点三 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 1．( × ) 2．( × ) 3．当a>0时，(ar)s＝(as)r.( √ ) 4．( √ ) 类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化 命题角度1 分数指数幂化根式 例1 用根式的形式表示下列各式(x>0)． 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 解 (1)＝. (2)＝. 反思与感悟 实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握． 跟踪训练1 用根式表示(x>0，y>0)． 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 解 命题角度2 根式化分数指数幂 例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0. (1)； (2)； (3)； (4). 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 解 (1) (2) (3) (4) 反思与感悟 指数的概念从整数指数扩充到实数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义．如但就不是实数了．为了保证在取任何实数时，都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分． 跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂： (1) ；(2) (a>0)；(3)b3·；(4). 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 解 (1) (2) (3) (4) 类型二 运用指数幂运算公式化简求值 例3 计算下列各式(式中字母都是正数)： (1) 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的加减运算 解 ＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09. (2) 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 解 原式＝ (3) 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 解 反思与感悟 一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的． 跟踪训练3 (1)化简： 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的四则混合运算 解 原式＝ (2)化简： 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 解 (3)已知求的值． 考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 解 由两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理，得x＋x－1＝23，则有＝23. 类型三 运用指数幂运算公式解方程 例4 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值． 考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 解 方法一 ∵a>0，b>0，又ab＝ba， 方法二 ∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a， 即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝. 反思与感悟 指数取 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
