二 一般形式的柯西不等式 名称 形式 等号成立条件 三维形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2 当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3) 一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n) [点睛] 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式． 利用柯西不等式证明不等式 [例1] 设x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥. [思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明． [证明] ∵(x1＋x2＋…＋xn) ＝[(1)2＋()2＋…＋()2]·≥ 2＝n2， ∴＋＋…＋≥. 柯西不等式的结构特征可以记为： (a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋ ＋…＋)2. 其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键． 1．设a，b，c为正数，且不全相等． 求证：＋＋>. 证明：构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得 (a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9， 于是＋＋≥. 由柯西不等式知，①中有等号成立?＝＝ ?a＋b＝b＋c＝c＋a?a＝b＝c. 因为a，b，c不全相等，故①中等号不成立， 于是＋＋>. 利用柯西不等式求最值 [例2] (1)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1. 求 ＋ ＋ 的最小值； (2)设2x＋3y＋5z＝29， 求函数μ＝＋＋的最大值． [思路点拨] (1)利用＋＋ ＝(x＋y＋z)． (2)利用(＋＋)2＝ (1×＋1×＋1×)2. [解] (1)∵x＋y＋z＝1， ∴＋＋＝(x＋y＋z)； ≥2 ＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x＝＝， 即x＝，y＝，z＝时取等号． 所以＋＋的最小值为36. (2)根据柯西不等式，有 (×1＋×1＋×1)2 ≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x＋3y＋5z＋11) ＝3×40＝120. 故＋＋≤2， 当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6， 即x＝，y＝，z＝时等号成立． 此时μmax＝2. 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件． 2．已知x，y，z∈R，且x－2y＋2z＝5，则(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2的最小值是( ) A．20 B．25 C．36 D．47 解析：选C ∵[(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x＋5)＋(－2)(y－1)＋2(z＋3)]2＝324，当且仅当＝＝，即x＝－3，y＝－3，z＝1时取等号．故(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2的最小值是36. 3．若2x＋3y＋4z＝11，则x2＋y2＋z2的最小值为_____． 解析：∵2x＋3y＋4z＝11，∴由柯西不等式，得 (x2＋y2＋z2)(4＋9＋16)≥(2x＋3y＋4z)2， 故x2＋y2＋z2≥， 当且仅当＝＝，即x＝， y＝，z＝时取等号． 答案： 4．把一根长为12 m的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值． 解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则x＋y＋z＝12，三个正方形的边长分别为，，均为正数，三个正方形面积之和：S＝2＋2＋2＝(x2＋y2＋z2)． ∵(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122， 即x2＋y2＋z2≥48.从而S≥×48＝3. 当且仅当＝＝时取等号， 又x＋y＋z＝12， ∴x＝y＝z＝4时，Smin＝3. 故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m2. 1．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为( ) A．5 B．－5 C．25 D ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
