【备考2020】2010-2019年高考课标全国I卷文科数学真题分类汇编--专题13：不等式选讲（原卷+解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题13：不等式选讲 不等式选讲大题：10年10考，而且是作为2个选做题之一出现的，主要考绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视），偶尔也考基本不等式．全国卷很少考不等式小题，如果说有考的话，可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题．不等式作为一种工具，解题经常用到，不单独命小题显然也是合理的．不等式的证明一般考在函数与导数综合题中出现． 1．（2019年）已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明： （1）++≤a2+b2+c2； （2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24． 【解析】（1）要证++≤a2+b2+c2；因为abc＝1． 就要证：++≤a2+b2+c2； 即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2； 即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2； 2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0 （a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0； ∵a，b，c为正数，且满足abc＝1． ∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号． 即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证． 故++≤a2+b2+c2得证． （2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立； 即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1． （a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数； （a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）； 当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号； ∵a，b，c为正数，且满足abc＝1． （a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2； 当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号； ∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）≥3×8??＝24abc＝24； 当且仅当a＝b＝c＝1时取等号； 故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证． 故得证． 2．（2018年）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围． 【解析】（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|＝， 由f（x）＞1， ∴或， 解得x＞， 故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞）， （2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立， ∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即|ax﹣1|＜1， ∴﹣1＜ax﹣1＜1， ∴0＜ax＜2， ∵x∈（0，1）， ∴a＞0， ∴0＜x＜， ∴a＜， ∵＞2， ∴0＜a≤2， 故a的取值范围为（0，2]． 3．（2017年）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|． （1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． 【解析】（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x＝的二次函数， g（x）＝|x+1|+|x﹣1|＝， 当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x＝，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]； 当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2． 当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]； （2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1， 故a的取值范围是[﹣1，1]． 4．（2016年）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|． （1）在图中画出y＝f（x）的图象； （2）求不等式|f（x）|＞1的解集． 【解析】（1）f（x）＝， 由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如图： （2）由|f（x）|＞1，可得 当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1； 当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜， 即有﹣1＜x＜或1＜x＜； 当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3． 综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5． 则|f（x）| ... ...