导数中的构造函数（最全精编） (1)

1 导数小题中构造函数的技巧 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想， 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下 面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。 （一）利用 )(xf 进行抽象函数构造 1、利用 )(xf 与 x构造；常用构造形式有 x xfxxf )(),( ；这类形式是对 v uvu ,? 型函 数导数计算的推广及应用，我们对 v uvu ,? 的导函数观察可得知， vu ? 型导函数中 体现的是“?”法， v u 型导函数中体现的是“?”法，由此，我们可以猜测，当 导函数形式出现的是“?”法形式时，优先考虑构造 vu ? 型，当导函数形式出现 的是“－”法形式时，优先考虑构造 v u ，我们根据得出的“优先”原则，看一看 例 1，例 2. 【例 1】 )(xf 是定义在 R上的偶函数，当 0?x 时， 0)()( ' ?? xxfxf ，且 0)4( ??f ，则不等式 0)( ?xxf 的解集为_____ ???思路点拨：出现“?”形式，优先构造 )()( xxfxF ? ，然后利用函数的单调性、 奇偶性和数形结合求解即可. 【解析】构造 )()( xxfxF ? ，则 )()()( '' xxfxfxF ?? ，当 0?x 时， 0)()( ' ?? xxfxf ， 可以推出 0?x ， 0)(' ?xF ， )(xF 在 )0,(?? 上单调递减.∵ )(xf 为偶函数， x为奇函 数，所以 )(xF 为奇函数，∴ )(xF 在 ),0( ?? 上也单调递减.根据 0)4( ??f 可得 0)4( ??F ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 0)( ?xxf 的解 集为 )4,0()4,( ???? . 【例 2】设 )(xf 是定义在 R 上的偶函数，且 0)1( ?f ，当 0?x 时，有 0)()(' ?? xfxxf 恒成立，则不等式 0)( ?xf 的解集为_____ 2 ???思路点拨：出现“?”形式，优先构造 然后利用函数的单调 性、奇偶性和数形结合求解即可. x xfxF )()( ? 【 解 析 】 构 造 x xfxF )()( ? ， 则 2 ' ' )()()( x xfxxfxF ??? ， 当 0?x 时 ， 0)()(' ?? xfxxf ，可以推出 0?x ， 0)(' ?xF ， )(xF 在 )0,(?? 上单调递增.∵ )(xf 为 偶函数， x为奇函数，所以 )(xF 为奇函数，∴ )(xF 在 ),0( ?? 上也单调递减.根据 0)1( ?f 可得 0)1( ?F ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 0)( ?xf 的解集为 ),1()1,( ?????? . x xfxxf )(),( 是比较简单常见的 )(xf 与 x之间的函数关系式，如果碰见复杂的， 不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式. )()( xfxxF n? ， )]()([)()()( '11' xfxnfxxfxxfnxxF nnn ???? ?? ； nx xfxF )()( ? ， 1 ' 2 1' ' )()()()()( ? ? ? ? ?? ? nn nn x xnfxxf x xfnxxxfxF ； 结论： 出现 )()( ' xxfxnf ? 形式，构造函数 )()( xfxxF n? ； 出现 )()(' xnfxxf ? 形式，构造函数 nx xfxF )()( ? . 我们根据得出的结论去解决例 3题 【例 3】已知偶函数 )0)(( ?xxf 的导函数为 )(' xf ，且满足 0)1( ??f ，当 0?x 时， )()(2 ' xxfxf ? ，则使得 0)( ?xf 成立的 x的取值范围是_____ ???思路点拨：满足“ )()(' xnfxxf ? ”形式，优先构造 然 后 利 用 函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可. nx xfxF )()( ? 3 【 解 析 】 构 造 2 )()( x xfxF ? ， 则 3 ' ' )(2)()( x xfxxfxF ??? ， 当 0?x 时 ， 0)(2)(' ?? xfxxf ，可以推出 0?x ， 0)(' ?xF ， )(xF 在 ),0( ?? 上单调递减.∵ )(xf 为 偶函数， 2x 为偶函数，所以 )(xF 为偶函数，∴ )(xF 在 )0,(?? 上单调递增.根据 0)1( ??f 可得 0)1( ??F ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 0)( ?xf 的解集为 )1,0()0,1( ?? . 【变式提升】设函数 )(xf 满足 xxfxxfx ln1)(3)( 2'3 ??? ，且 e ef 2 1)( ? ， 则 0?x 时， )(xf （ ） A、有极大值，无极小值 B、有极小值，无极大值 C、既有极大值又有极小值 D、既无极大值也无极小值 ... ...