[基础题组练] 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中共有直角三角形的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选A.由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形． 2．下列命题中不正确的是( ) A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ 解析：选A.根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行于平面β，也可能在平面β内或与平面β相交． 3．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 解析：选B.如图，取AC，A1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，BM，过点D作DN∥BM交MM1于点N，则易证DN⊥平面AA1C1C，连接AN，则∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角．在直角三角形DNA中，sin ∠DAN＝＝＝. 4.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( ) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 解析：选D.因为BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF， 所以BC∥平面PDF，故选项A正确． 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC， 所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确． 5．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的余弦值为_____． 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意πrl＝3πr2，即l＝3r，母线与底面夹角为θ，则cos θ＝＝. 答案： 6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_____；与AP垂直的直线有_____． 解析：因为PC⊥平面ABC， 所以PC垂直于直线AB，BC，AC. 因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C， 所以AB⊥平面PAC，又因为AP?平面PAC， 所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB. 答案：AB，BC，AC AB 7．如图，在四棱锥E-ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点． 求证：(1)直线MN∥平面EBC； (2)直线EA⊥平面EBC. 证明：(1)取BE的中点F，连接CF，MF. 因为M是AE的中点，所以MF綊AB. 因为N是矩形ABCD中边CD的中点， 所以NC綊AB，所以MF綊NC， 所以四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF. 又MN?平面EBC，CF?平面EBC，所以MN∥平面EBC. (2)因为平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，BC?平面ABCD，又因为在矩形ABCD中，BC⊥AB，所以BC⊥平面EAB. 又因为EA?平面EAB，所以BC⊥EA. 因为EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB?平面EBC，BC?平面EBC， 所以EA⊥平面EBC. 8.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN. (1)求证：AM⊥PD； (2)求直线CD与平面AMN所成角的正弦值． 解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以CD⊥AD. 又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，故CD⊥平面PAD. 又AM?平面PAD，则CD⊥AM， 而PC⊥平面AMN，有PC⊥AM，又PC∩CD＝C，则AM⊥平面PCD，故AM⊥PD. (2)延长NM，CD交于点E，因为PC⊥平面AMN， 所以NE为CE在平面AMN内的射影，故∠CEN为CD(即CE)与平面AMN所成的角， 又因为CD⊥PD，EN⊥PN，则有∠CEN＝∠MPN， 在Rt△PMN中，sin ∠MPN＝＝， 故CD与平面AMN所成角的正弦值为. [综合题组练] 1．(应用型)正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE＝120°，则CE与平面ABCD所成角的 ... ...
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