2020高考数学（文）一轮复习（含最新2019高考题）：空间点、直线、平面之间的位置关系

[基础题组练] 1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　) A．与a，b都相交 B．只能与a，b中的一条相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行 解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾． 2．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　) A．空间四边形　　 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析：选B. 如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形． 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC. 又FG∥BD， 所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角． 而AC与BD所成的角为90°， 所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形． 3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件． 4．(2019·广州市高中综合测试(一))在四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AB＝CD，AB⊥CD，则异面直线EF与AB所成角的大小为(　　) A. B. C. D. 解析：选B.取BD的中点O，连接OE，OF，因为E，F分别为AD，BC的中点，AB＝CD，所以EO∥AB，OF∥CD，且EO＝OF＝CD，又AB⊥CD，所以EO⊥OF，∠OEF为异面直线EF与AB所成的角，由△EOF为等腰直角三角形，可得∠OEF＝，故选B. 5．已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是_____． 解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′， 所以MN∥A′C′. 答案：平行 6．给出下列四个命题： ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点； ②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交； ③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面； ④若三条直线两两相交，则这三条直线共面． 其中真命题的序号是_____． 解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内． 答案：①②③ 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线． 证明：如图，连接BD，B1D1， 则BD∩AC＝O， 因为BB1綊DD1， 所以四边形BB1D1D为平行四边形， 又H∈B1D， B1D?平面BB1D1D， 则H∈平面BB1D1D， 因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1， 所以H∈OD1. 即D1、H、O三点共线． 8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)求AC与A1D所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小． 解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角． 因为AB1＝AC＝B1C， 所以∠B1CA＝60°. 即A1D与AC所成的角为60°. (2)连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1. 因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以EF∥BD，所以EF⊥AC. 所以EF⊥A1C1. 即A1C1与EF所成的角为90°. [综合题组练] 1．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是(　　) A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 解析：选C.由题意知，D∈l，l?β，所以D∈β， 又因为D∈AB，所以D ... ...