[基础题组练] 1．(2019·广州市调研测试)已知α为锐角，cos α＝，则tan＝( ) A． B．3 C．－ D．－3 解析：选A.因为α是锐角，cos α＝，所以sin α＝，所以tan α＝＝2，所以tan＝＝，故选A. 2．已知sin 2α＝，则cos2＝( ) A. B. C. D. 解析：选B.cos2＝＝＝.故选B. 3．(2019·湖北新联考模拟)＝( ) A． B． C． D．1 解析：选A.＝＝＝＝.故选A. 4．已知cos＝－，则sin－cos α＝( ) A．± B．－ C． D．± 解析：选D.sin－cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝sin ，而cos＝1－2sin2＝－，则sin＝±，所以sin－cos α＝±，故选D. 5．已知cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝_____． 解析：法一：因为cos 2θ＝， 所以2cos2θ－1＝，1－2sin2θ＝， 因为cos2θ＝，sin2θ＝， 所以sin4θ＋cos4θ＝. 法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－sin22θ ＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝. 答案： 6．已知＝，tan(α－β)＝，则tan β＝_____． 解析：因为＝，所以＝，＝1，所以tan α＝1，又因为tan(α－β)＝， 所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝. 答案： 7．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值． 解：由cos β＝，β∈， 得sin β＝，tan β＝2. 所以tan(α＋β)＝ ＝＝1. 因为α∈，β∈， 所以<α＋β<， 所以α＋β＝. 8．(2018·高考江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 解：(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α. 因为sin2 α＋cos2 α＝1，所以cos2 α＝， 因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－. [综合题组练] 1．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β的值为( ) A． B． C． D． 解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 所以tan(α＋β)＝＝＝1. 因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝. 2．已知α，β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( ) A．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B．tan(α＋β)＝2tan(α－β) C．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β) 解析：选A.法一：因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，sin 2α＝2sin 2β， 所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]， 展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]， 整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)， 两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)，得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A. 法二：因为sin 2α＝2sin 2β， 所以＝＝＝＝3，即tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A. 3．化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝_____． 解析：原式＝·＋·－cos 2αcos 2β＝＋－cos 2αcos 2β＝＋cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝. 答案： 4．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝_____． 解析：因为tan β＝， 所以tan β＝＝tan. 又α，β均为锐角， 所以β＝－α， 即α＋β＝， 所以tan(α＋β)＝tan ＝1. 答案：1 5．(应用型)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大， ... ...
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