第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1．直线的倾斜角? (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角． (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0. (3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式 (1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α. (2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)?在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 3．直线方程的5种形式 名称 方程 适用条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式? Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线 平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． 如果y2＝y1，x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1，x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在． 斜率与倾斜角的关系 (1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系． (2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大． (3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率． (4)已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tan α的值域；已知斜率k的范围，求倾斜角α的范围，实质是在∪上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数图象来解决此类问题． (1)把直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化为下面的形式： ①化为截距式：Ax＋By＝－C，即＋＝1. ②化为斜截式：y＝－x－. (2)在一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中， 若A＝0，则y＝－，它表示一条与y轴垂直的直线； 若B＝0，则x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线. [小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.( ) (3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．( ) (4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( ) (5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、选填题 1．若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为( ) A．0 B. C. D．不存在 解析：选C 因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α为. 2．直线x－y＋a＝0的倾斜角为( ) A. B. C. D. 解析：选B 设直线的倾斜角为α，则tan α＝， ∵α∈[0，π)，∴α＝. 3．如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( ) A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C ∵A·C＜0，B·C＜0，Ax＋By＋C＝0，∴y＝－x－，∴A·B＞0，－＞0，∴－＜0，∴直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、四象限，故选C. 4．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m＝_____. 解析：由k＝＝1，得m＝1. 答案：1 5．过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为_____． 解析：由点斜式得直线方程为y－(－3)＝tan 45°(x－2)，即x－y－5＝0. 答案：x－y－5＝0 考点一 直线的倾斜角与斜率 [师生共研过关] [典例精析] (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A．[0，π) B.∪ C. D.∪ (2)已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_____． [解析] (1)设直线的倾斜角为θ， 则有tan θ＝－sin α， 又－sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)， 所以0≤θ≤或 ≤θ＜π. (2)如图，因为kAP＝ ... ...
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