沪科版数学九年级上册同步学案 第二十二章 相似形 22.2 相似三角形的判定 第4课时 相似三角形的判定定理3 要 点 讲 解 要点一 三边成比例的两个三角形相似 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(可简单说成：三边成比例的两个三角形相似). 1. 相似三角形的判定，除以上四种判定方法外，还有以下判定方法： (1)定义法：对应角相等，对应边成比例的三角形相似(这种方法不常用). (2)几种特殊相似三角形的判定： ①顶角(或底角)对应相等的两个等腰三角形相似；②一腰与底边对应成比例的两个等腰三角形相似；③一锐角相等的两个直角三角形相似；④直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似；⑤等腰直角三角形都相似，等边三角形都相似. 2. 当两个三角形相似，没有用符号“∽”表示，而是用文字“相似”说明时，对应边的关系不确定. 经典例题1 下列各组条件中，使△ABC∽△A′B′C′的有( ) ①AB＝1.5，BC＝2，AC＝2.5，B′C′＝16，A′B′＝12，A′C′＝20； ②BC＝8，AC＝7，B′C′＝16，A′C′＝14，∠A＝88°，∠A′＝88°； ③∠A＝82°，AC＝15，AB＝7，∠A′＝82°，A′B′＝14，A′C′＝30； ④AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝4cm，A′B′＝12cm，B′C′＝24cm，A′C′＝18cm； ⑤∠A＝80°，∠B＝60°，∠A′＝80°，∠C′＝40°. A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 解析：直接运用相似三角形的判定定理1，2，3进行判断即可. ①∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′； ②∵＝＝，＝＝，即＝，且∠A＝∠A′，但∠A与∠A′不是BC与AC及B′C′与A′C′的夹角，∴△ABC与△A′B′C′不一定相似； ③∵＝＝，＝＝，∴＝，且∠A＝∠A′(夹角)，∴△ABC∽△A′B′C′； ④∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′； ⑤∵∠A＝∠A′，∠C＝180°－∠A－∠B＝40°，即∠C＝∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′. 答案：D 要点二 网格中的相似三角形的判定 证明正方形网格中的三角形相似，一般先计算线段的长度或角的大小，再根据三角形相似的判定来证明. 经典例题2 如图所示，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空：∠ABC＝_____，BC＝_____； (2)判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论. 解析：本题是一道与正方形网格有关的相似三角形的探索题，应首先掌握正方形网格的特征，证明相似时应从对应边成比例、对应角相等入手. 解：(1)观察图形可知∠ABE＝90°，∠EBC＝45°，∴∠ABC＝90°＋45°＝135°. 根据正方形网格的特征，利用勾股定理可得BC＝＝2. (2)相似.证明如下：用上面的方法同样可求得∠DEF＝135°，DE＝，∴＝＝，＝＝，∴＝.又∠ABC＝∠DEF，∴△ABC∽△DEF. 易错易混警示 不能明确两三角形元素间的对应关系而出错 经典例题3 要做甲、乙两个形状相同(即相似)的三角形框架，甲框架已做成，它的三边长分别是50cm，60cm，80cm，若乙框架的一边长必须为20cm，那么符合条件的乙框架共有( ) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 答案：C 点拨：本例易出现选A的错误，认为乙中长为20cm的边只能与甲中长为50cm的边对应，实际上这只是其中的一种情况，乙中长为20cm的边的对应边也可以是甲中长为60cm的边，还可以是长为80cm的边. 当 堂 检 测 1. 已知△ABC的三边长分别为2，5，6.若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长可以是( ) A. 3，6，7 B. 6，15，18 C. 3，8，9 D. 8，10，12 2. 已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似，应选( ) A. 2cm，3cm B. 4cm，5cm C. 5cm，6cm D. 6cm，7cm 3. ... ...
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