湖南省衡阳县四中2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理科实验班）试题（图片版）

衡阳县四中2019年上期高二（理科实验班）数学期末考试数学答案 一．选择题（共12小题） 1-5 ABCCB 6-10 CBCBB 11-12．DB 解法：若有且仅有两个整数xi（i＝1，2），使得f（xi）＜g（xi）成立， 则a（xex﹣x+1）＜ex有两个整数解． 因为y＝x（ex﹣1）+1，当x＞0时，ex﹣1＞0，x（ex﹣1）+1＞0； 当x＜0时，ex﹣1＜0，x（ex﹣1）+1＞0， ∴a有两个整数解…（8分） 设g（x）＝，则， 令h（x）＝2﹣x﹣ex，则h′（x）＝﹣1﹣ex＜0， 又h（0）＝1＞0，h（（1）＝1﹣e＜0， 所以?x0∈（0，1），使得h（x0）＝0， ∴g（x）在（﹣∞，x0）为增函数，在（x0，+∞）为减函数， ∴a＜有两个整数解的充要条件是： ， 解得≤a＜1．故选：B． 二．填空题（共4小题） 13． 14．　10　 15．3 16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2CB＝2，P是△ABC内一动点，∠BPC＝120°，则AP的最小值为　﹣1　． 【解答】解：设∠PBC＝θ，则：∠ACP+∠BCP＝60°， ∠PBC+∠BCP＝60°，所以：∠ACP＝∠PBC＝θ． 在△PBC中，由正弦定理得：＝＝2＝， 所以：PC＝2sinθ．在△PBC中，AP2＝PC2+AC2﹣2?PC?ACcosθ， 即：，＝， 且，由于：0＜θ＜60°，则：0＜2θ＜120°， 由 三．解答题（共7小题） 17．解：（1）在等差数列{an}中，由S7＝7（a1+a7）＝49，得：a4＝7，又∵a5＝9，∴公差d＝2，a1＝1， ∴数列{an}的通项公式an＝2n﹣1 （n∈N+）， （2）bn＝an?2n＝（2n﹣1）?2n， 令数列{bn}的前n项和为Tn， Tn＝1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）?2n…① 2 Tn＝1×22+3×23++…+（2n﹣5）×2n﹣1+（2n﹣3）?2n+（2n﹣1）?2n+1…② ﹣Tn＝2+2（22+23++…+2n﹣1+?2n）﹣（2n﹣1）?2n+1＝2+2n+2﹣8﹣+（2n﹣1）?2n+1； ∴Tn＝（2n﹣3）2n+1+6． 18．证明：（1）连接BD，由PA＝PD＝2，E是AD的中点，得PE⊥AD， 由平面PAD⊥平面ABCD，可得PE⊥平面ABCD，PE⊥BE， 又由于四边形ABCD是边长为2的菱形， ∠A＝60°， ∴BE⊥AD，∴BE⊥平面PAD．………（6分） 解：（2）以E为原点，EA，EB，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， P（0，0，），A（1，0，0）， B（0，，0），C（﹣2，，0）， ＝（1，0，﹣），＝（0，），＝（﹣2，）， 令平面PAB的法向量为＝（x，y，z）， 则，取y＝1，得＝（），………………（9分） 同理可得平面PBC的一个法向量为＝（0，1，1）， 所以平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值为： |cos＜＞|＝＝．………………（12分） 19．（1）证明：当直线AB的斜率不存在时，由y＝x代入椭圆方程可得：＝1，解得x＝±，此时原点O到直线AB的距离为． 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立，化为（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2t2﹣a2b2＝0， △＞0，则x1+x2＝，x1x2＝， ∵∠AOB＝90°． ∴x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+t）（kx2+t）＝0， 化为（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2＝0， 化为﹣+t2＝0， 化为＝， ∴原点O到直线AB的距离d＝＝． 综上可得：原点O到直线AB的距离为定值． （2）解：由（1）可得|OA||OB|＝?|AB|， ∴|OA||OB|＝?|AB|， ∴+＝＝ ＝?≤， 当且仅当|OA|＝|OB|时取等号． ∴+的最大值为． （3）解：如图所示，过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹满足：OP⊥PA，OP⊥PB． 因此P，A，B三点共线． 由（1）可知：原点O到直线AB的距离为定值． ∴分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程为x2+y2＝． 20．解：（Ⅰ）依题意，n＝6，，…．…（2分） ≈33﹣6.6×26＝﹣138.6，…（3分） ∴y关于x的线性回归方程为＝6.6x﹣138.6…（4分） （Ⅱ） （ i ）利用所给数据，，得， 线性回归方程＝6.6x﹣138.6 的相关指数R2＝．…（6分） ∵0.9398＜0.9522，…（7分） 因 ... ...