数列的求和问题 【学习目标】 1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2．掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式； 3．熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法；注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和. 【要点梳理】 要点一、数列的前n项和S n的相关公式 任意数列的第项与前项和之间的关系式： 等差数列的前项和公式： （为常数） 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0； 当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式. 等比数列的前项和公式： 当时，，， 当时，或 要点诠释：等比数列的求和中若q的范围不确定，要特别注意的情况. 要点二、求数列的前项和的几种常用方法 公式法： 如果一个数列是等差或者等比数列，求其前项和可直接利用等差数列或等比数列的前项和公式求和； 倒序相加法： 等差数列前n项和的推导方法，即将倒写 后再与相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和. 裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为的数列求和. 常见的拆项公式： ①； ②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则； ③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则. ④；. 分解求和与并项求和法： 把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为an=2n+3n的数列求和. 错位相减法： 如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和. 一般步骤： ，则 所以有 要点诠释： ①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前项和的两边都乘以等比数列的公比q后，再错位相减求出其前项和； ②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错位相减法会不成立. 要点三、掌握一些常见数列的前n项和公式 1. ； 2. 3. ； 要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便. 【典型例题】 类型一：公式法：直接利用或者转化后利用等差或等比数列求和公式 例1．设数列的通项为则= 【思路点拨】对含绝对值的式子，首先去绝对值号，再考虑分组为等差或等比之和。 【答案】153? 【解析】由得取则 . 【总结升华】要求几个含有绝对值的式子的和，关键是要去掉绝对值符号，去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法，所以此题的关键是要看的符号. 举一反三： 【变式】已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且则数列的前5项和为 【答案】 【解析】由题意知，显然 ∵ ∴ ∴ ∴ 类型二：错位相减法 例2．设/，求数列：/,/,/,…, /,…的前/项和/. 【思路点拨】 原数列不是等差等比数列，但字母部分：,,,…,,…是等比数列，系数部分，，，…，，…是等差数列，对数列中任一项若除以，则与前项同类项，系数大1，若乘以，它与它的后项是关于的同类项，且系数小1，联系等比数列求和方法，错项相减法（注意当等比数列公比不为1的时候） 【解析】 当/时，/ 当/时，/ …… ① 则/ …… ② 由①-②可得：/， ∴/. 【总结升华】 1.一般地，如果等差数列/与等比数列/的对应项相乘形成的数列/（也称为“差比数列”）都用错位相减的办法来求前n项之和/. 2. 错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法，一 ... ...
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