《圆锥曲线与方程》全章复习与巩固 【学习目标】 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）掌握直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：圆锥曲线的标准方程和几何性质 1．椭圆： （1）椭圆概念 平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。 椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。 要点诠释： ①椭圆标准方程中的大小，其中； ②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。 例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里； ②对称性： 椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点： ，，，是椭圆的四个顶点。 同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。 ∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。 2．双曲线 （1）双曲线的概念 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线. 要点诠释： ①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）； ②当时，表示两条射线； ③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。 （2）双曲线的性质 ①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。 ②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 ③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。 令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。 注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。 虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。 ④渐近线： 渐近线方程：. 这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 3．抛物线 （1）抛物线的概念 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 方程叫做抛物线的标准方程。 注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ； （2）抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表： 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 轴 轴 轴 轴 顶点 离心率 要点诠释： （1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径； （2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线； （3）注意强 ... ...
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