专题12 推理与证明 【必备知识点】 推理与证明 1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤： 通过观察个别情况发现某些相同的性质； 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）； 证明（视题目要求，可有可无）. 2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。 3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———三段论”，包括 ⑴大前提--已知的一般原理； ⑵小前提--所研究的特殊情况； ⑶结论--据一般原理，对特殊情况做出的判断． 用集合的观点来理解：若集合中的所有元素都具有性质,是的一个子集,那么中所有元素也 都具有性质P. 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确. 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. ⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示： 要点：逆推证法；执果索因. ⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1)（反设）假设命题的结论不成立； (2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； (3)（归谬）断言假设不成立； (4)（结论）肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤; （1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立； （2）（归纳递推）假设时命题成立，推证当时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立. 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等. 【基础提分训练】 1. 已知，，，，，，推测（?? ） A. B. C.? D. 2. 已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为；内切球的半径为.类比三角形的面积可得四面体的体积为( ? ) A. B. C. D. 3. 观察下列各式：，，，则的末两位数字为（? ） A. B. C. D. 4. 已知，计算得，，，，，由此推算：当时，有（ ?） A. B. C. C. 5. ”杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为( ) A.528 B.1020 C.1038 D.1040 6. 图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左、右相邻两数的和，如，，，则第行第个数（从左往右数）为（ ? ） A. B. C. D. 7. 如 ... ...
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