课件编号6050677

人教版高中数学理科选修2-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料:11定积分的概念

日期:2024-05-02 科目:数学 类型:高中学案 查看:40次 大小:626507Byte 来源:二一课件通
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定积分的概念 【学习目标】 1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程,了解定积分的背景; 2.借助于几何直观定积分的基本思想,了解定积分的概念,能用定积分定义求简单的定积分; 3.理解掌握定积分的几何意义. 【要点梳理】 要点一、定积分的定义 定积分的概念 一般地,设函数在区间上连续,用分点 将区间等分成个小区间,每个小区间长度为(),在每个小区间上任取一点,作和式: 如果无限接近于(亦即)时,上述和式无限趋近于常数,那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为:, 定积分的相关名称: ———叫做积分号, ———叫做被积函数, ———叫做被积表达式, x———叫做积分变量, a———叫做积分下限, b———叫做积分上限, [a,b]———叫做积分区间。 要点诠释: (1)定积分是一个常数,即无限趋近的常数(时) 记为,而不是. (2) 定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即(称为积分形式的不变性),另外定积分与积分区间[a,b]息息相关,不同的积分区间,定积分的积分上下限不同,所得的值也就不同,例如与的值就不同。 (3)用定义求定积分的一般方法是: ①分割:等分区间; ②近似代替:取点; ③求和:; ④取极限: (4)按定积分的定义, ① 由连续曲线、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为; ② 设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为。 要点二、定积分的几何意义 定积分的几何意义: 从几何上看,如果在区间上函数连续且恒有,那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分的几何意义。 一般情况下,定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和,在轴上方的面积取正号,在轴下方的面积取负号。 要点诠释: (1)当时,积分在几何上表示由、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积;特别地:当a=b时,有,如图(a)。 (2)当时,由、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,积分在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数。 所以,即,如图(b)。 (3)当在区间[a,b]上有正有负时,积分在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和(x轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号)。在如右图所示的图象中,定积分。 要点三、定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质1:; 性质2:; 性质3:定积分关于积分区间具有可加性。 如右图:(其中)。 要点诠释: 性质1: 被积函数常数因子可以提到积分号前。 性质2:函数代数和(或差)的定积分等于它们的定积分的代数和(或差)。同时,这个性质可推广到有限多个函数代数和(或差)的情形。 性质3: 不论a,b,c三点的相互位置如何,恒有。这表明定积分对于积分区间具有可加性。 可以用右图直观地表示出来,即S曲边梯形AMNB=S曲边梯形AMPC+S曲边梯形CPNB。 【典型例题】 类型一、利用定积分求曲边梯形面积 例1 利用定积分的定义求由直线x=1,x=2和y=0及曲线y=x3围成的图形的面积。 【思路点拨】根据求积分的定义对曲边梯形:①分割;②近似代替;③求和;④取极限。 【解析】 如图所示。 (1)分割。 把要求面积的曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形, 用分点, ,…,把区间[1,2]等分成n个小区间, ,,…,,…,, 每个小区间的长度为,过各分点作x轴的垂线,把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形,它们的面积分别记作ΔS1,ΔS2,…,ΔSn。 (2)近似代替。 取各小区间的左端点,用以点的纵坐标为一边,以小区间长为其邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形的面积,可以近似地表示为:(i=1,2,3,…,n)。 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应 ... ...

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