函数及表示 【考纲要求】 1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3. 了解简单的分段函数，并能简单应用． 【知识网络】 【考点梳理】 1、映射的定义 设是两个非空的集合，如果按照对应法则，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到集合的映射，记作。映射允许多对一，一对一，但是不允许一对多，允许集合B中的元素在集合A中没有元素和它对应。 2、函数的概念 设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个，在集合中都有唯一的值与它对应，那么称为从集合到集合的一个函数。记作：. 其中叫做自变量，叫做函数，自变量的取值范围（数集）叫做函数的定义域，与的值对应的值叫做函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域。 3、函数的三要素 函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两个要素。 4、两个函数能成为同一函数的条件 当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。 5、区间的概念和记号 设，且，我们规定： （1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为。 （2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为。 （3）满足不等式或的实数的集合叫做半闭半开区间，分别表示为和。这里的实数和叫做相应区间的端点。 （4）实数可以用区间表示为“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。我们可以把满足的实数表示为 6、函数的表示方法 函数的表示方法有三种。（1）解析法：就是把两个变量的函数关系用代数式来表达，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。（2）列表法：就是列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法。（3）图像法：用图像来表示两个变量间的函数关系。 7、分段函数 在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。 8、求函数的定义域的主要依据 （1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数的真数；（4）指数函数和对数函数的底数且；（5）零次幂的底数； （6）函数的定义域是；（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。 【典型例题】 类型一：映射的概念 例1．以下对应中，从集合A到集合B的映射有 ；其中 是函数 。 （1） （2） （3） （4） 解析：（1）、（2）、（4）是映射，（1）、（2）是函数。 点评：1.判断是否映射的方法：先看集合A中的每个元素是否在集合B中都有象；再看集合A中的每个元素的象是否唯一； 2.函数是非空数集到非空数集的特殊映射，函数一定是映射，映射不一定是函数. 举一反三： 【变式】设集合A=R，集合B=R＋，则从集合A到集合B的映射只可能是（ ） A 、 B、 C、 D 、 【答案】C； 解析：A、B、D中元素没有象。 例2. 已知在映射的作用下的像是，求在作用下的像和在 作用下的原像。 解析：， 所以在作用下的像是； 或 所以在作用下的原像是. 点评：弄清题意，明白已知是什么，求的又是什么是本题的关键. 举一反三： 【变式】在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】A； 解析： 类型二：函数的概念 例3．下列各组函数中表示同一函数的是 。 （1），； （2）； （3 ... ...
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