正弦、余弦定理及解三角形 【考纲要求】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、三角形中的边与角之间的关系 约定：的三个内角、、所对应的三边分别为、、. 1．边的关系： (1) 两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，； (2) 勾股定理：中，. 2．角的关系： 中，,= （1）互补关系： （2）互余关系： 3．直角三角形中的边与角之间的关系 中，（如图），有： ， . 要点二、正弦定理、余弦定理 1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： （为的外接圆半径） 2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即： 要点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一. （2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. （3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角. (4) 利用余弦定理判断三角形形状： ①勾股定理是余弦定理的特殊情况，. ②在中，，所以为锐角； 若，，同理可得角、为锐角. 当，，都成立时，为锐角三角形． ③在中，若， 所以为钝角，则是钝角三角形． 同理：若，则是钝角三角形且为钝角； 若，则是钝角三角形且为钝角． 要点三、解斜三角形的类型 1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解. 2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在中，已知和角时，解的情况如下： (1)若A为锐角时： 如图： (2)若A为直角或钝角时： 3.已知三边，用余弦定理有解时，只有一解. 4.已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解. 要点诠释： 1．在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍. 2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会漏掉一种形状的可能． 要点四、三角形面积公式 1．（表示边上的高）； 2．； 3．； 4．； 5. 要点五、实际问题中的常用角 1. 仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示： 2.方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为0°～360°. 如图，点的方位角是。 3. 坡角和坡度 坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。 【典型例题】 类型一、利用正弦、余弦定理解三角形 例1. 在中，已知下列条件，解三角形. （1）, , ； （2），，. 【思路点拨】画出示意图（1）正弦定理的运用；（2）余弦定理的运用. 【解析】 （1）∵， 法一：∵， ∴或， ①当时，，； ②当时，（舍去）. 法二：∵，∴，即， ∴，，. （2）∵ ∴ 法一：∵ ∴， 法二：∵ 又∵，即 ∴，有， ∴，. 【总结升华】 ①解三角形时，可以依据题意画出恰当的示意图，然后正确选择正、余弦定理解答； ②解三角形时，要留意三角形内角和为180°，同一个三角形中大边对大角等性质的应用 ... ...
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