基本不等式 【考纲要求】 1.了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2.会用基本不等式解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）. 要点诠释：和两者的异同： （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。 （3）可以变形为：，可以变形为：. 3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 要点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二：基本不等式的证明 1. 几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2. 代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作： 如果，,，（当且仅当时取等号“=”）. 要点三、用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 要点四、几个常见的不等式 1），当且仅当a=b时取“=”号。 2），当且仅当a=b 时取“=”号。 3）；特别地：； 4） 5）； 【典型例题】 类型一：基本不等式的理解 例1. ，，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）. （1）的最小值为； （2）的最小值为； （3）的最小值为. 【解析】（1）；（2） （1）∵，，∴（当且仅当时取等号）. （2）∵，，∴（当且仅当时取等号）. （3）∵，∴， （当且仅当即时取等号） ∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即 【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可. 举一反三： 【变式1】给出下面四个推导过程： ① ∵，∴； ② ∵，∴； ③ ∵，，∴ ； ④ ∵，，∴. 其中正确的推导为（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【解析】①∵，∴，符合基本不等式的条件，故①推导正确. ②虽然，但当或时，是负数，∴②的推导是错误的. ③由不符合基本不等式的条件，∴是错误的. ④由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D. 【变式2】下列命题正确的是（ ） A.函数的最小值为2. B.函数的最小值为2 C.函数最大值为 D.函数 的最小值为2 【答案】C 【解析】A选项中，∵，∴当时由基本不等式； 当时.∴选项A ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
