第一章 二次函数拓展训练试题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第一章 二次函数 拓展训练(答案) 1． 已知函数的图像是一条抛物线，求这条抛物线表达式． 【答案】解：∵该函数的图像是一条抛物线， ∴解得m＝1， ∴这条抛物线的表达式是y＝2x2－4x＋2． 2． 如图，抛物线①y＝x2，②y＝－x2，在x轴上有动点P，从原点出发，以每秒2cm的速度沿x轴正方向运动，出发ts后，过P点作与y轴平行的直线交①于点A，交②于点B，过A，B分别作x轴的平行线交①于点D，交②于点C． （1）求点B，点D的坐标（用含t的式子表示）； （2）点P运动几秒时，四边形ABCD为正方形． 【答案】解：（1）把x＝2t代入y＝－x2可求B点坐标为B(2t，－2t2)， 把x＝2t代入y＝x2可求A点坐标为A(2t，4t2)， 由对称性可得点D的坐标为D(－2t，4t2)； （2）由题意知四边形ABCD为矩形， 当AD＝AB时，四边形ABCD为正方形， 即2t－(－2t)＝4t2－(－2t2)， 4t＝6t2，解得t1＝0（舍去），t2＝． 即点P运动秒时，四边形ABCD为正方形． 3． 在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2＋mx＋n经过点A(－1，a)，B(3，a)，且最低点的纵坐标为－4． （1）求抛物线的表达式及a的值； （2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围． 【答案】解：（1）∵抛物线y＝2x2＋mx＋n过点A(－1，a)，B(3，a)， ∴抛物线的对称轴x＝1． ∵抛物线最低点的纵坐标为－4， ∴抛物线的顶点是(1，－4)． ∴抛物线的表达式是y＝2(x－1)2－4，即y＝2x2－4x－2． 把A(－1，a)代入抛物线表达式，求出a＝4． （2）∵抛物线顶点C(1，－4)关于y轴的对称点为点D， ∴D(－1，－4)． 求出直线CD的表达式为y＝－4． 求出直线BD的表达式为y＝2x－2， 当x＝1时，y＝0． 所以一4＜t≤0． 4． 已知P(－5，m)和Q(3，m)是二次函数y＝2x2＋bx＋1图象上的两点． （1）求b的值； （2）将二次函数y＝2x2＋bx＋1的图象沿y轴向上平移k（k＞0）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的取值范围． 【答案】解：（1）∵点P、Q是二次函数y＝2x2＋bx＋1图象上的两点， ∴此抛物线对称轴是直线x＝－1． ∵二次函数的关系式为y＝2x2＋bx＋1， ∴有－＝－1． ∴b＝4． （2）平移后抛物线的关系式为y＝2x2＋4x＋1＋k． 要使平移后图象与x轴无交点， 则有b2－4ac＝16－8(1＋k)＜0， ∴k＞1． 5． 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米． （1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的表达式； （2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？（精确到0.1m） 【答案】解：（1）由题意，设该抛物线的方程为y＝ax2， ∵点(5，－5)在抛物线上， ∴该抛物线的方程为y＝－x2． （2）当x＝3.5时，y＝－2.45， 7－2.45－0.5＝4.05米≈4.0米． 答：车辆通过隧道的限制高度为4.0米． 6． 二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y＝2；当x＝－1时，y＝－2；当x＝2时，y＝7．求这个二次函数的表达式． 【答案】解：将x＝1，y＝2；x＝－1，y＝－2；x＝2，y＝7分别代入二次函数， 得解得 ∴这个二次函数的表达式为y＝x2＋2x－1． 7． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)向右平移2个单位得到抛物线y＝a(x－3)2－1，且平移后的抛物线经过点 A(2，1)． （1）求平移后抛物线的表达式； （2）求原抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】解：（1）把点A(2，1)的坐标代入y＝a(x－3)2－1， 得1＝a(2－3)2－1，解得a＝2， ∴平移后抛物线的表达式为y＝2 ... ...