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课件网) 2.3 数学归纳法 对于数列 ,已知 , 求通项公式. 猜想： 学 习 目 标 1.了解数学归纳的原理 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 (多米诺骨牌游戏) 思考：此游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件？ 1.第一块骨牌倒下 2.任意相邻的两块骨牌， 前一块倒下一定导致后一块倒下 递推关系：第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下 1.第一块骨牌倒下 2.任意相邻的两块骨牌， 前一块倒下一定导致 后一块倒下 （第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下） 数列 ,已知 猜想： 2.假设 时成立，那么 时猜想也成立，即 多米诺骨牌 一般地证明一个与正整数 1.（归纳奠基)证明当 2.（归纳递推）假设当 有关的命题，可按下列步骤进行： 取第一个值 时命题成立； 时命题成立， 时命题也成立. 证明当 证明： （1）当 左边 所以等式成立. (2)假设当 那么,当 即当 时， 时等式成立,即 时 等式也成立. 都成立. 变式练习1 用数学归纳法证明 证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立． 这就是说，当n=k+1时，等式也成立． 由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立． （2）假设当n=k时，等式成立，即 递推基础 递推依据 那么当n=k+1时， 分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误： 变式训练2 纠错! （1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(n?N*) 证明 ：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(k?N*) 那么，当n=k+1时，有 2+4+6+8+…+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 , 因此，对于任何n?N*等式都成立。 缺乏“递推基础” 事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！ 这就是说，当n=k+1时,命题也成立. 没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法 请修改为数学归纳法 证明 ①当n=1时,左边= , ②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即 此时，原等式成立。 那么n=k+1时, 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确. 这才是数学归纳法 ②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即 此时，原等式成立。 那么n=k+1时, 这就是说，当n=k+1时,命题也成立. 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确. 1. 试问等式 解:假设当 则当 所以等式对任何 事实上，当 四、深化理解 归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？ 成立吗？某同学用数学 时等式成立，即 时 即当 时等式也成立. 都成立. 时，左边＝2，右边＝3,左边≠右边，等式不 成立.缺少归纳奠基，不属于数学归纳法，是不正确的. 四、深化理解 2. 判断证明下面等式是否使用了数学归纳法： 证明：①当 ，等式成立. ②假设当 那么当 即当 根据 ①和②，可知等式对一切正整数 左边 右边 没有用上“假设”，缺少归纳递推，故此法不是数学归纳法.如何修改？由 时,左边= 时等式成立，即 时, 时,等式也成立. 都成立. 到 递推，请学生们自主完成. 五、灵活应用 1.已知数列 项和，计算S1, S2 ,S3 ,S4,根据计算结果， 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致， 分母可用项数 下面用数学归纳法证明猜想： 解析： 时，显然成立；（2）假设 则 也成立 由（1）和（2）可知 设 为数列前 猜想 表示为 ,可以猜想 （1）当 时， 对任何的 都成立. 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 五、灵活应用 2.比较 分析：当 时， 时， 时， 时， 时， 时， 下面用数学归纳法证明猜想： 时，显然成立； （2）假设 则当 因为 即证 又 所以 故当 由（1）和（2）可知 和 的大小. 时， 当 当 当 当 当 猜想当 （1）当 时，有 时，只需证 成立. 时，猜想成立. 对任何的 都成立. 六、巩固训练 4.设 D．非以上答案 成立时， 起始值至少应取为＿＿. 答案：C 答案：8 答案： 1．若 则 为( ) A. B. C. 2.用数学归纳法证明不等式 3．用数学归纳法证明： ... ...
