命题动向：函数是中学数学的核心内容，而导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点．常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)，求极值、最值、切线方程、函数的零点或方程的根，求参数的范围及证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等，中、高档难度均有． 题型1 利用导数研究函数的性质 例1 (2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)ln (1＋x)－2x. (1)若a＝0，证明：当－10时，f(x)>0； (2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a. 解 (1)证明：当a＝0时，f(x)＝(2＋x)ln (1＋x)－2x，f′(x)＝ln (1＋x)－. 设函数g(x)＝f′(x)＝ln (1＋x)－， 则g′(x)＝. 当－10时，g′(x)>0. 故当x>－1时，g(x)≥g(0)＝0，且仅当x＝0时，g(x)＝0，从而f′(x)≥0，且仅当x＝0时，f′(x)＝0. 所以f(x)在(－1，＋∞)单调递增． 又f(0)＝0，故当－10时，f(x)>0. (2)①若a≥0，由(1)知，当x>0时，f(x)≥(2＋x)ln (1＋x)－2x>0＝f(0)，这与x＝0是f(x)的极大值点矛盾． ②若a<0，设函数h(x)＝＝ln (1＋x)－. 由于当|x|0， 故h(x)与f(x)符号相同． 又h(0)＝f(0)＝0，故x＝0是f(x)的极大值点当且仅当x＝0是h(x)的极大值点． h′(x)＝－ ＝. 如果6a＋1>0，则当00，故x＝0不是h(x)的极大值点． 如果6a＋1<0，则a2x2＋4ax＋6a＋1＝0存在根x1<0，故当x∈(x1,0)，且|x|0；当x∈(0,1)时，h′(x)<0.所以x＝0是h(x)的极大值点，从而x＝0是f(x)的极大值点． 综上，a＝－. [冲关策略] 利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值．已知f(x)的单调性，可转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析． 变式训练1 (2019·江西模拟)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a＜0. (1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值． 解 (1)当a＝－4时，f(x)＝(4x2－16x＋16)，其中x>0，则f′(x)＝. 由f′(x)>0得02. 故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)． (2)f′(x)＝，a＜0， 由f′(x)＝0得x＝－或x＝－. 当x∈时，f(x)单调递增；当x∈时，f(x)单调递减；当x∈时，f(x)单调递增． 易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0. ①当－≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意． ②当1<－≤4，即－8≤a<－2时，－≤<1，f(x)在[1,4]上的最小值为f＝0，不符合题意． ③当－>4，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，当f(1)＝8时，解得a＝±2－2，不符合a<－8的条件，当f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在[1,4]上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意． 综上有，a＝－10. 题型2 利用导数研究方程的根(或函数的零点) 例2 (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 解 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)． (ⅰ)若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减． (ⅱ)若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝－ln a. 当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－ln a)单调递减，在(－ln a，＋∞ ... ...
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