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课件网) 高考数学 (北京专用) 第三章 导数及其应用 §3.1 导数的概念及运算 A组 自主命题·北京卷题组 五年高考 1.(2014北京文,20,13分)已知函数f(x)=2x3-3x. (1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围; (3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论) 解析 (1)由f(x)=2x3-3x得f '(x)=6x2-3. 令f '(x)=0,得x=-?或x=?. 因为f(-2)=-10, f?=?, f?=-?, f(1)=-1, 所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f?=?. (2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0), 则y0=2?-3x0,且切线斜率为k=6?-3,所以切线方程为y-y0=(6?-3)(x-x0), 因此t-y0=(6?-3)(1-x0).整理得4?-6?+t+3=0. 设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”. g'(x)=12x2-12x=12x(x-1). g(x)与g'(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) g'(x) + 0 - 0 + g(x) ↗ t+3 ↘ t+1 ↗ 所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值. 当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多 有2个零点. 当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多 有2个零点. 当g(0)>0且g(1)<0,即-3
0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和 [1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+ ∞)上恰有1个零点. 综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1). (3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切; 过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切; 过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切. 评析????本题主要考查导数的几何意义、导数的应用及函数方程问题,考查学生运用导数研究 函数性质的能力,考查了函数与方程、等价转化等思想方法. 2.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=?在点(1,0)处的切线. (1)求L的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方. 解析 (1)设f(x)=?,则f '(x)=?. 所以f '(1)=1.所以L的方程为y=x-1. (2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(?x>0,x≠1). g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f '(x)=?. 当01时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方. 思路分析????(1)先求导,再求切线斜率,进而得出切线方程; (2)令g(x)=x-1-f(x),待证等价于g(x)>0(?x>0,x≠1),再利用函数单调性和最值解决问题. 一题多解????(2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(?x>0,x≠1). 令h(x)=x(x-1)-ln x,则g(x)=?,并且h(1)=0, h'(x)=2x-1-?=?. 当01时,h'(x)>0,h(x)单调递增. 所以,h(x)>h(1)=0(?x>0,x≠1). 因此g(x)>0(?x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方. 3.(2013北京文,18,13分)已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线y=f(x)在点(a, f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值; (2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围. 解析 由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f '(x)=x(2+cos x). (1)因为曲线y=f(x)在点(a, f(a))处与直线y=b相切, 所以f '(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).解得a=0,b=f(0)=1. (2)令f '(x)=0,得x=0.f(x)与f '(x)的情况如下: x (-∞,0) 0 (0,+∞) f '(x) - 0 + f(x) ↘ 1 ↗ 所以函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增, f(0)=1是f(x)的 ... ... 